中考数学专题复习讲解和分析：如何解方案设计类问题

我们经常强调，数学学习一定要提高分析问题和解决问题的能力，特别是应用相关数学知识去解决实际问题，更是数学学习的重点。

在社会发展过程中，人们越来越清晰认识到，很多生产生活中遇到的问题，都可以通过建立数学模型，转化成具体的数学问题来解决。如生活中许多实际问题需借助方程(组)或不等式(组)的求解，不仅如此还需要对方程(组)或不等式(组)的解，进行有针对性的分析作出方案设计与决策。

方案设计类问题，就是要求以方案设计的形式解决数学问题，问题情境包含实际问题情景和数学问题情境，设计目标有图形设计问题、测量方案问题、经济方案问题等，它一般包括“问题情境——模型建立——说明、应用和拓展”等具体求解过程。

方案设计类问题贴近生活，具有较强的操作性和实践性，主要考查学生的动手实践能力和创新设计才能，解决问题时要慎于思考，并能在实践中对所有可能的方案进行罗列与分析，得出符合要求的一种或几种方案。

为了能更好帮助大家理解什么是方案设计类问题，我们一起来看一道典型例题：

某经营世界著名品牌的总公司，在我市有甲、乙两家分公司，这两家公司都销售香水和护肤品．总公司现香水70瓶，护肤品30瓶，分配给甲、乙两家分公司，其中40瓶给甲公司，60瓶给乙公司，且都能卖完，两公司的利润（元）如下表．

（1）假设总公司分配给甲公司x瓶香水，求：甲、乙两家公司的总利润W与x之间的函数关系式；

（2）在（1）的条件下，甲公司的利润会不会比乙公司的利润高？并说明理由；

（3）若总公司要求总利润不低于17370元，请问有多少种不同的分配方案，并将各种方案设计出来．

解：（1）依题意，甲公司的护肤品瓶数为：40﹣x，

乙公司的香水和护肤品瓶数分别是：70﹣x，30﹣（40﹣x）=x﹣10．

w=180x+200（40﹣x）+160（70﹣x）+150（x﹣10）=﹣30x+17700．

故甲、乙两家公司的总利润W与x之间的函数关系式w=﹣30x+17700．

（2）甲公司的利润为：180x+200（40﹣x）=8000﹣20x，

乙公司的利润为：160（70﹣x）+150（x﹣10）=9700﹣10x，

8000﹣20x﹣（9700﹣10x）=﹣1700﹣10x＜0，

∴甲公司的利润会不会比乙公司的利润高．

考点分析：

一次函数的应用；函数思想。

题干分析：

（1）设总公司分配给甲公司x瓶香水，用x表示出分配给甲公司的护肤品瓶数、乙公司的香水和护肤品瓶数，根据已知列出函数关系式；

（2）根据（1）计算出甲、乙公司的利润进行比较说明；

（3）由已知求出x的取值范围，通过计算得出几种不同的方案。

解题反思：

此题考查的知识点是一次函数的应用，关键是先求出函数关系式，再对甲乙公司利润进行比较，通过求自变量的取值范围得出方案。

在商业活动或生产活动过程中常常遇到最优化问题，解决此类问题一般可借助函数知识内容以及函数的最大(小)值进行最优方案的选择或设计。

结合典型例题分析和方案设计的概念，我们可以总结出此类题型的特点：根据题目要求，构造适当的数学模型，找出问题的一种或多种具体解决方法，或能够从问题的多种解决方法中通过计算，比较找出最优解决方案。

正因为方案设计类问题主要解决实际问题，它要求学生重视动手操作和实践，密切关注社会热点。同时考查学生对知识产生过程的把握程度，有时给出设计要求，让学生自己设计方案，有时需要学生通过阅读、观察、归纳、探索和比较等手段寻找解决问题的方法，得到最佳方案。

方案设计类问题，典型例题分析2：

某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造．测得两直角边长为6m、8m．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．

解：分三类情况讨论如下：

（1）如图1所示，原来的花圃为Rt△ABC，其中BC＝6m，AC＝8m，∠ACB＝90°．由勾股定理易知AB＝10m，将△ABC沿直线AC翻折180°后，得等腰三角形ABD，此时，AD＝10m，CD＝6m．

故扩建后的等腰三角形花圃的周长为12＋10＋10＝32（m）．

考点分析：

等腰三角形、直角三角形、勾设定理、分类思想、设计类问题、分类思想、勾股定理、设计类问题。

题干分析：

原题并没有给出图形，要根据题意画出符合题意的图形，画出图形后，可知本题实际上应三类情况讨论：一是将△ABC沿直线AC翻折180°后，得等腰三角形ABD，如图1；二是延长BC至点D，使CD＝4，则BD＝AB＝10，得等腰三角形ABD，如图2；三是作斜边AB的中垂线交BC的延长线于点D，则DA＝DB，得等腰三角形ABD，如图3．先作出符合条件的图形后，再根据勾股定理进行求解即可．

解题反思：

对于无附图几何问题，往往需要根据题意画出图形，结合已知条件及图形分析求解，这样便于寻找解题思路。

在实际生活的背景下，不只是传统的简单作图，而是运用轴对称图形和中心对称图形的性质，借助某些规则的图形(如等腰三角形、菱形、矩形、圆)的性质，通过对图形进行分解与组合进行创新设计。

纵观近几年全国各地中考数学试题，方案设计与决策在中考数学中是常见题型。如涉及代数方面的有方程(组)、不等式(组)和函数两类；涉及几何方面的有测量、包装等。

具体来说，方案设计类题型有这么几种：方程、不等式方案设计、统计概率方案设计、函数方案设计、测量方案设计、图形方案设计。

主要考查到的知识有这些：有方程、不等式、函数、统计、概率、三角函数、对称平移、旋转等。

方案设计类问题，典型例题分析3：

图①，图②，图③都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．在图①，图②中已画出线段AB，在图③中已画出点A．按下列要求画图：

考点分析：

作图—应用与设计作图。

题干分析：

（1）根据勾股定理，结合网格结构，作出两边的等腰三角形即可；

（2）根据勾股定理逆定理，结合网格结构，作出正方形；

（3）根据勾股定理逆定理，结合网格结构，作出最长的线段作为正方形的边长即可。

解题反思：

本题考查了作图﹣应用与设计作图．熟记勾股定理，等腰三角形的性质以及正方形的性质是解题的关键所在。

利用几何知识进行方案设计，不仅要有一定的几何作图能力，而且要能熟练地运用几何的有关性质及全等、相似、图形变换、方程及三角函数的有关知识，并注意充分发挥分类讨论、类比归纳、猜想验证等数学思想方法的作用。

方案设计类问题，典型例题分析4：

我市化工园区一化工厂，组织20辆汽车装运A、B、C三种化学物资共200吨到某地．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满．请结合表中提供的信息，解答下列问题：

（1）设装运A种物资的车辆数为x，装运B种物资的车辆数为y．求y与x的函数关系式；

（2）如果装运A种物资的车辆数不少于5辆，装运B种物资的车辆数不少于4辆，那么车辆的安排有几种方案？并写出每种安排方案；

（3）在（2）的条件下，若要求总运费最少，应采用哪种安排方案？请求出最少总运费．

（3）设总运费为M元，

则M=12×240x+10×320（20﹣2x）+8×200（20﹣x+2x﹣20）

即：M=﹣1920x+64000

∵M是x的一次函数，且M随x增大而减小，

∴当x=8时，M最小，最少为48640元．

考点分析：

一次函数的应用；一元一次不等式组的应用；函数思想。

题干分析：

（1）根据题意列式：12x+10y+8（20﹣x﹣y）=200，变形后即可得到y=20﹣2x；

（2）根据装运每种物资的车辆数都不少于5辆，x≥5，20﹣2x≥4，解不等式组即可；

（3）根据题意列出利润与x之间的函数关系可发现是二次函数，利用二次函数的顶点公式即可求得最大值，根据实际意义可知整数x=8时，利润最大。

解题反思：

此题考查的是一次函数的应用，主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力。要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义求解．注意要根据自变量的实际范围确定函数的最值。

最后大家一定要记住方案设计类问题的基本解题策略：熟练掌握和灵活运用方程、不等式、函数等知识及扎实的几何基础。熟练应用数学建模思想，分类讨论思想，能正确认知图形，由表及里探索图形本质。