中考数学分类解析第三篇——概率与统计

综合近几年的陕西中考数学试卷，概率与统计都是以解答题的形式考查，其中第18题考查统计部分知识点，第22题考查概率部分知识点。相较于初中数学中其他知识点，概率与统计部分容易掌握，容易得分，但也容易失分。关键在于搞清楚各个概念的区别，计算要准确，否则容易导致一步错步步错。今天给大家整理了概率与统计部分的知识和解题方法。

一、知识结构图

二、题型分析

1.统计题

在陕西中考数学中，统计部分通常考查分析、补全统计图（表）类问题。要解决这类问题，首先要知道调查或统计的样本容量，然后计算各个部分的频数，或通过统计图得到该组的频率（百分比），从而得到各项信息并最终补全统计图（表）。那么我们可以通过以下步骤解题：

第一步：计算调查的样本容量

综合观察统计图（表），从表中得到各组数据的频数，或得到某组的频数或频率（所占百分比），利用样本容量=各组频数之和或样本容量=某组的频数/该组的频率（所占百分比）计算即可。

第二步：补全统计图（表）

（1）补全条形统计图：一般会涉及到未知组的频数，计算方法如下：

未知组频数=样本容量-其他组频数之和；

未知组频数=样本容量×改组所占样本的百分比。

（2）补全扇形统计图：一般涉及求未知组的百分比或所占圆心角的度数，计算方法如下：

未知组百分比=1-其他组百分比之和；

未知组百分比=（组频数÷样本容量）×100%；

若要求未知组在扇形统计图中圆心角的度数，则利用360°×该组所占百分比即可求得。

第三步：样本估计总体

计算总体中某组的个数：直接利用样本估计总体的思想求解，即总体中某组的个数=总体个数×样本中该组所占的百分比（频率）。

真题示例

（2016年·陕西）某校为了进一步改进本校七年级数学教学，提高学生学习数学的兴趣，校教务处在七年级所有班级中，每班随机抽取了6名学生，并对他们的数学学习情况进行了问卷调查．我们从所调查的题目中，特别把学生对数学学习喜欢程度的回答（喜欢程度分为：“A-非常喜欢”、“B-比较喜欢”、“C-不太喜欢”、“D-很不喜欢”，针对这个题目，问卷时要求每位被调查的学生必须从中选一项且只能选一项）结果进行了统计，现将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

请你根据以上提供的信息，解答下列问题：

（1）补全上面的条形统计图和扇形统计图；

（2）所抽取学生对数学学习喜欢程度的众数是；

（3）若该校七年级共有960名学生，请你估算该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的有多少人？

【分析】（1）根据条形统计图与扇形统计图可以得到调查的学生数，从而可以的选B的学生数和选B和选D的学生所占的百分比，从而可以将统计图补充完整；

（2）根据（1）中补全的条形统计图可以得到众数；

（3）根据（1）中补全的扇形统计图可以得到该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的人数．

【解答】解：（1）由题意可得，调查的学生有：30÷25%=120（人），

选B的学生有：120﹣18﹣30﹣6=66（人），

B所占的百分比是：66÷120×100%=55%，

D所占的百分比是：6÷120×100%=5%，

故补全的条形统计图与扇形统计图如下图所示；

（2）由（1）中补全的条形统计图可知，所抽取学生对数学学习喜欢程度的众数是：比较喜欢， 故答案为：比较喜欢；

（3）由（1）中补全的扇形统计图可得，该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的有：960×25%=240（人）， 即该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的有240人．

（2017年·陕西）养成良好的早锻炼习惯，对学生的学习和生活都非常有益，某中学为了了解七年级学生的早锻炼情况，校政教处在七年级随机抽取了部分学生，并对这些学生通常情况下一天的早锻炼时间x（分钟）进行了调查．现把调查结果分成A、B、C、D四组，如下表所示，同时，将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图．

请你根据以上提供的信息，解答下列问题：

（1）补全频数分布直方图和扇形统计图；

（2）所抽取的七年级学生早锻炼时间的中位数落在 C 区间内；

（3）已知该校七年级共有1200名学生，请你估计这个年级学生中约有多少人一天早锻炼的时间不少于20分钟．（早锻炼：指学生在早晨7：00～7：40之间的锻炼）

【分析】（1）先根据A区间人数及其百分比求得总人数，再根据各区间人数之和等于总人数、百分比之和为1求得C区间人数及D区间百分比可得答案；

（2）根据中位数的定义求解可得；

（3）利用样本估计总体思想求解可得．

【解答】解：（1）本次调查的总人数为10÷5%=200，

则20～30分钟的人数为200×65%=130（人），

D项目的百分比为1﹣（5%+10%+65%）=20%，

补全图形如下：

（2）由于共有200个数据，其中位数是第100、101个数据的平均数，

则其中位数位于C区间内，故答案为：C；

（3）1200×（65%+20%）=1020（人），

答：估计这个年级学生中约有1020人一天早锻炼的时间不少于20分钟．

2.概率题

解决有关概率问题，需要熟练掌握列表法和树状图法，另外有时也会直接用公式法，利用频率估计概率要学会灵活运用。一般在一次试验中有两个因素时，用列表法较为简单直观；当一次试验中有两个或两个以上因素时常用树状图法。

例如判断游戏的公平性是通过概率来判断的，在条件相同的情况下，如果对于参加游戏的每一个人获胜的概率想等，则游戏公平，否则不公平。

真题示例

（2016年·陕西）某超市为了答谢顾客，凡在本超市购物的顾客，均可凭购物小票参与抽奖活动，奖品是三种瓶装饮料，它们分别是：绿茶、红茶和可乐，抽奖规则如下：①如图，是一个材质均匀可自由转动的转盘，转盘被等分成五个扇形区域，每个区域上分别写有“可”、“绿”、“乐”、“茶”、“红”字样；②参与一次抽奖活动的顾客可进行两次“有效随机转动”（当转动转盘，转盘停止后，可获得指针所指区域的字样，我们称这次转动为一次“有效随机转动”）；③假设顾客转动转盘，转盘停止后，指针指向两区域的边界，顾客可以再转动转盘，直到转动为一次“有效随机转动”；④当顾客完成一次抽奖活动后，记下两次指针所指区域的两个字，只要这两个字和奖品名称的两个字相同（与字的顺序无关），便可获得相应奖品一瓶；不相同时，不能获得任何奖品．

根据以上规则，回答下列问题：

（1）求一次“有效随机转动”可获得“乐”字的概率；

（2）有一名顾客凭本超市的购物小票，参与了一次抽奖活动，请你用列表或树状图等方法，求该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的概率.

【分析】（1）由转盘被等分成五个扇形区域，每个区域上分别写有“可”、“绿”、“乐”、“茶”、“红”字样；直接利用概率公式求解即可求得答案；

（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．

【解答】解：（1）∵转盘被等分成五个扇形区域，每个区域上分别写有“可”、

“绿”、“乐”、“茶”、“红”字样；

∴一次“有效随机转动”可获得“乐”字的概率为：

；

（2）画树状图得：

∵共有25种等可能的结果，该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的有2种情况，

∴该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的概率为：

.

（2017年·陕西）端午节“赛龙舟，吃粽子”是中华民族的传统习俗．节日期间，小邱家包了三种不同馅的粽子，分别是：红枣粽子（记为A），豆沙粽子（记为B），肉粽子（记为C），这些粽子除了馅不同，其余均相同．粽子煮好后，小邱的妈妈给一个白盘中放入了两个红枣粽子，一个豆沙粽子和一个肉粽子；给一个花盘中放入了两个肉粽子，一个红枣粽子和一个豆沙粽子．

根据以上情况，请你回答下列问题：

（1）假设小邱从白盘中随机取一个粽子，恰好取到红枣粽子的概率是多少？

（2）若小邱先从白盘里的四个粽子中随机取一个粽子，再从花盘里的四个粽子中随机取一个粽子，请用列表法或画树状图的方法，求小邱取到的两个粽子中一个是红枣粽子、一个是豆沙粽子的概率．

【分析】（1）根据题意可以得到小邱从白盘中随机取一个粽子，恰好取到红枣粽子的概率；

（2）根据题意可以写出所有的可能性，从而可以解答本题．

【解答】解：（1）由题意可得，小邱从白盘中随机取一个粽子，恰好取到红枣粽子的概率是：

，

即小邱从白盘中随机取一个粽子，恰好取到红枣粽子的概率是：

.

（2）由题意可得，出现的所有可能性是：

（A，A）、（A，B）、（A，C）、（A，C）、

（A，A）、（A，B）、（A，C）、（A，C）、

（B，A）、（B，B）、（B，C）、（B，C）、

（C，A）、（C，B）、（C，C）、（C，C），

∴小邱取到的两个粽子中一个是红枣粽子、另一个是豆沙粽子的概率是：

.

总的来说，在初中数学阶段，概率与统计部分是比较容易得分的，同学们只要熟练掌握各个概念，认真审题，注意计算过程不要出现错误，相信大家都可以得到满分。