加减消元四步曲，轻松“消”灭应用题

消元法，包含代入消元和加减消元两种类型。小学主要学习加减消元，即利用等式的性质使多个等式中的某一个未知数前的系数的数字相等，然后把两个等式相加或相减，以消去这个未知数，使等式只含有一个未知数而得以求解。

一个核心

等量代换：用一种量（或一种量的一部分）来代替和它相等的另一种量（或另一种量的一部分）。“等量代换”是指一个量用与它相等的量去代替，它是数学中一种基本的思想方法，也是代数思想方法的基础。

如曹冲称象就是运用了这个原理。据说，曹冲生五六岁，智意所及，有若成人。时孙权曾致巨象，太祖欲知其斤重，访之群下，咸莫能出其理。冲曰：“置象于船上，而刻其水痕所至，称物以载之，则校可知矣。复称他物，则象重可知也”太祖悦，即施行焉。

三大题型

题型（一）：直接消元

例：一个杯子向空瓶里倒水，如果倒进了4杯水，连瓶共重520克，如果倒进去7杯水，连瓶子共重760克。那么一个杯子和一个空瓶各中多少克？

4杯水+瓶=520

7杯水+瓶=760

此类题型只需列出等式，已有系数相等的两个未知数。

题型（二）：构造消元

例：3头牛和6只样一天共吃青草93千克，6头牛和5只样一天共吃青草130千克，问每头牛每天比每只羊多吃多少青草？

3牛+6羊=93 6牛+5羊=130……①

6牛+5羊=130 6牛+12羊=186……②

例：买2条毛巾、3块肥皂，要付18元钱；买3条毛巾、2块肥皂,一共要付17元钱（毛巾、肥皂都分别是同一品种的）,那么买一条毛巾和一块肥皂要付多少元钱?

2毛+3皂=18 6毛+9皂=54……①

3毛+2皂=17 6毛+4皂=34……②

此类题型需列出等式，通过等式变形（找最小公倍数）构造出系数相等的两个未知数。

题型（三）：整体消元

例：六年级三个班种了一片树,其中86棵不是一班的,65棵不是二班的,61棵不是三班的,请问：二班种了多少棵?

一班+二班=61 …… ①

二班+三班=86 …… ②

一班+三班=65 …… ③

2（一班+二班+三班）=61+86+65……①+②+③

此类题型需列出等式，通过等式全部合并，然后再与其他等式进行对比消元。

四大步骤

例1：3头牛和6只样一天共吃青草93千克，6头牛和5只样一天共吃青草130千克，问每头牛每天比每只羊多吃多少青草？

第一步：（1）列等式：

3牛+6羊=93 6牛+5羊=130

第二步：（2）找系数相等的元

3牛+6羊=93 6牛+12羊=186

第三步：（3）消去一个未知数

6牛+5羊=130……①

6牛+12羊=186……②

②比①多7只羊，多吃186-130千克草，羊：56÷7=8（千克）

第四步：（4）带入求解

将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程中,求出另一个未知数的值

3牛+6×8=93

3牛=45 牛= 15

例2：买2条毛巾、3块肥皂，要付18元钱；买3条毛巾、2块肥皂,一共要付17元钱（毛巾、肥皂都分别是同一品种的）,那么买一条毛巾和一块肥皂要付多少钱?

第一步：列等式：2毛+3皂=18 3毛+2皂=17

第二步：找系数相等的元

2毛+3皂=18 6毛+9皂=54

3毛+2皂=17 6毛+4皂=34

第三步：消去一个未知数

6毛+9皂=54……①

6毛+4皂=34……②

②比①多5块肥皂，多用了20元：（54-34）÷（9-4）=4（元）

第四步：带入求解

将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程中,求出另一个未知数的值

2毛+3×4=18（元）

2毛=6 毛=（18-12）÷2=3（元）

毛+皂=4+3=7（元）

总结：加减消元四步曲核心在于如何找到相同元的相同系数（利用找最小公倍数法寻找）,然后利用等式变化，构造出系数相同的元。通过加减消去系数相同的元。