用函数不等式实现放缩

前面几天讲了数列常用的放缩方法，今天说点新鲜的——用函数不等式实现放缩.

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正整数的倒数和

正整数倒数的前n项和形式是这样的.

数学家和广大的数学爱好者凭着过往积累的自信，认为应该也能推导出一个公式来计算上式，这个自信来自于下面的事实.

我们能求正整数的前n项和.

我们能求正整数平方的前n项和.

我们能求正整数立方的前n项和.

可是，几百年的实践至今，我们依然找不到合适的公式去计算它.

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自然对数显奇功

在我们目前学到的初等数学中，如何处理这类求和问题呢？

基本的思想就是，借助已有函数的不等关系，通过适当地放缩，放缩为能够求和的形式，最后研究这个和式的范围.

能够用于放缩的不等式有

然后采用赋值的方法朝正整数的倒数和靠近.

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反向放缩

以上是朝小的方法去放缩，如何希望朝大的方向去放呢？

总结，用放缩法得出正整数前n项和的范围是

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题外话：欧拉常数

当n很大的时候，我们能够用下面的公式去估计它.