高考数学数列与不等式的综合推证（1）

不等式的证明是中学数学学习中的一个难点，尤其是涉及数列的不等式中的证明将推理论证，化归转化及综合运用所学知识的能力的考察比较综合，本节将数列不等式推证的常用方法归纳总结如下，供在高考的复习中参考。

例题1、已知 {an} 是正数组成的数列，a1 = 1, 且点 （√an , an+1）在函数 y = x^2 + 1 的图像上 。

（1）求数列 {an} 的通项公式 ；

（2）若数列 {bn} 满足：b1 = 1 , bn+1 = bn + 2^(an) , 求证 ： bn · bn+2 < (="">bn+1)^2 。

解：

(1) 由已知得： an+1 = an + 1 , 即 an+1 - an = 1 ， 又 a1 = 1 ， 故由等差数列的定义得：

数列 {an} 是以 1 为首项，1 为公差的等差数列，所以其通项公式为：

an = 1 + ( n - 1 ) × 1 = n ;

(2) 证明：由（1）知：an = n , 则 bn+1 = bn + 2^n , 由此可得：

bn+2 = bn+1 + 2^( n + 1 ) = bn + 3 ·2^n 故

bn · bn+2 - ( bn+1)^2 = bn · （bn + 3 ·2^n）- （bn + 2^n）^2

= bn ·2^n - 2^(2n)

= 2^n ( bn - 2^n )

又因为 bn+1 = bn + 2^n ，

所以 bn+1 - 2^( n + 1 ) = bn + 2^n - 2^( n + 1 )

= bn - 2^n

= ... = b1 - 2 , 而 b1 = 1 ,

所以 bn · bn+2 - ( bn+1)^2 = 2^n ( bn - 2^n ) = 2^n ( b1 - 2 ) = 2^n ( 1 - 2 ) = -2^n < 0="">

即 bn · bn+2 < (="">bn+1)^2 。

注：本题中的不等式的推证是运用了“比较法”中的“比差法”进行推证的，解答某些问题时也可采用“比商法”进行推证，“比差”与“比商”是比较法中的两种重要推证方法，务必扎实掌握 。

例题2、设数列 {an} 的前 n 项和为 Sn , 已知 a1= 1 , a2 = 6 , a3 = 11 , 且 （5n - 8）Sn+1 - （5n + 2）Sn = An + B ,

( n ∈ 正整数, 其中 A ， B 为常数 ) 。

（1）求 A ， B 的值；

（2）证明数列 {an} 是等差数列 ；

（3）证明不等式

例题2图（1）

解：

（1）取 n = 1 , 2 并联立方程组可解得：A= -20 , B =-8 ；

（2）由（5n - 8）Sn+1 - （5n + 2）Sn = An + B ， 得通项公式为：an = 5n - 4 ；

（3）证明：（采用“分析法”来证明）

欲证：

例题2图（2）

只需证明：

例题2图（2）

即证：

例题2图（3）

因为 an = 5n - 4 , 所以 amn = 5mn - 4 ;

an · am = （5n - 4）（5m - 4）= 25mn - 20( m + n ) + 16 ,

因此，只要证：

例题2图（4）

因为

例题2图（5）

所以只要证：5（m + n）- 8 < 20（m="" +="" n）-="" 37="">

即证：15（m + n）> 29 ,

也即证： m + n > 29/15 成立即可,

而 m ≥ 1 , n ≥ 1 ,

故 m + n ≥ 2 > 29/15 显然成立 , 以上逐步可逆，故不等式

例题2图（6）

注：本题采用“分析法”进行推证，从而使本题获证，要注意“分析法”的证明步骤和语言叙述。

例题3、等比数列 {an} 的前 n 项和为 Sn , 已知对任意的 n ∈ 正整数 ，点（n , Sn）均在函数 y = b^x + r （b > 0 , 且 b ≠ 1 , b , r 均为常数）的图像上 。

（1）求 r 的值 ；

（2）当 b = 2 时 ， 记

例题2图（1）

证明：对任意的 n ∈ 正整数 ， 不等式

例题2图（2）

解：

（1）由等比数列 {an} 及前 n 项和为 Sn 的定义，容易求得 ： r = -1 ；

（2）证明：（采用“综合法”来证明）

由（1）知 r = -1 ，进而可得 ：an = 2^(n - 1) , 所以

例题2图（3）

由于

例题2图（4）

因此

例题2图（5）

所以不等式

例题2图（6）

注：本题借助基本不等式建立递推式，运用不等式的性质“可乘性”将各不等式两边相乘进而使本题获解 。

“分析法”和“综合法”是推理论证的两种基本证明方法，详见“猜证结合数学思想”之“分析法”与“综合法”在高中数学解题中的应用。