循环小数的概念：循环小数可分为有限循环小数，如：1.123123123（不可添加省略号）和无限循环小数，如：1.123123123……（有省略号）。前者是有限小数，后者是无限小数。 循环小数在奥数中的考法：①纯循环小数小数部分化成分数：将一个循环节的数字组成的数作为分子，分母的各位都是9，9的个数与循环节的位数相同，最后能约分的再约分。 ②混循环小数小数部分化成分数：分子是第二个循环节以前的小数部分的数字组成的数与不循环部分的数字所组成的数之差，分母的头几位数字是9，9的个数与一个循环节的位数相同，末几位是0，0的个数与不循环部分的位数相同。 分数转化成循环小数的判断方法：①一个最简分数，如果分母中既含有质因数2和5，又含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是混循环小数。 ②一个最简分数，如果分母中只含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是纯循环小数。 循环小数经典题型：1、下列分数哪些能化为有限小数、纯循环小数、混循环小数？若能化成有限小数，小数部分有几位？若能化成混循环小数，不循环部分有几位？ 7/9，1/111，48/275，3/22，5/32，33/250，13/65 解题方法： 5/32,33/250,13/65能化为有限小数，小数部分的位数分别为5位，3位与1位；7/9,16/111能化为纯循环小数；48/275,3/22能化为混循环小数，并且不循环部分的位数分别为2位与1位。 2、朱小明将1.23（3循环）乘以a时，把（3循环）看成1.23，使得乘积比正确结果小0.3，正确结果是多少？ 解题方法：由于1.23（3循环）减1.23=0.003（3循环）等于1/300，所以a＝0.3÷1/300=90从而，正确结果为：1.23（3循环）×90=111/90×90=111 3、将一个纯循环小数0.abc（a、b循环）化成最简真分数后，它的分母与分子之差为9。求a ，b，c各是多少？ 解题方法：因为0.abc（a、b循环）=abc/999，而999＝3×3×3×37 由于abc/999写成最简真分数后，分子、分母的差为9。所以abc必为9的倍数，且不能为37的倍数（否则999与abc至少有公约数9×37，约简后分母为3，不合题意）。 由于abc仅为9的倍数，不是27的倍数，则abc/999约简后的分母为3×37＝111，此时分子为111-9＝102，但102/111不是最简分数，102/111=34/37，不合题意。 若abc为27的倍数，则abc/999约简后的分母为37，此时分子为37-9＝28，即abc/999=28/37。 于是，abc=28×27=756，即 a=7，b=5，c＝6。 |
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