平行关系的判定（第一课时）教学实录与评析

崇尚理性精神，揭示思维过程

——平行关系的判定（第一课时）教学实录与评析

黄海波执教（安徽省合肥市第六中学）

侯曙明评析（安徽省合肥市第六中学）

摘要：空间中的平行关系的判定是空间线面位置关系研究的开始，在立体几何学习中具有重要的意义与地位．本节课的教学遵循从具体到抽象的原则，借助实物模型，通过直观感知，合情推理，探究说理，操作确认，归纳出直线与平面平行的判定定理，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中理解数学概念，领会数学思想方法，提高空间想象能力．

关键词：平行关系；教学实录；教学反思；教学评析

本节课依据教学内容在课程体系中的地位与作用，结合学情特点实施教学．教学过程遵循从具体到抽象的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，借助实物模型，通过直观感知，合情推理，探究说理，操作确认，归纳出直线与平面平行的判定定理．

定理形成过程的教学，教师先让学生通过直观感知，通过动画演示，说明与地面平行的日光灯管可以通过平移逐步接近地面，最终确实可以平稳地落到地面内来．直线与平面平行的性质，通过直观感知，操作确认，学生是不难理解的．反过来，通过一系列问题串：如果平面外一条直线与平面内无数条直线都平行，则该直线与此平面是否平行？需要与平面内的无数条直线都平行吗？……来逐步引导学生自主探究得到判定定理．强调判定定理的本质是将空间的线面平行降维转化为线线平行解决，体现了立体几何中的这种重要的化归思想．

人教版教材对判定定理的教学不再要求严格的逻辑证明，但不证明不代表“不讲理”．我们通过平面内的直线平移可布满整个平面来说明这样一个事实：在平面外一条直线与平面内的一条直线平行的前提下，平面内的任何一点都在该直线的一条平行线上，故平面外的直线与该平面没有公共点，进而线面平行．

定理生成的过程将合情推理与演绎推理有机结合，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，揭示直线与平面平行的判定定理、理解数学概念，领会数学思想方法，发展学生的空间观念和空间想象能力，提高学生的数学逻辑思维能力．

在定理应用的最后阶段，以面面平行为背景，设置了一个高度开放的探究问题，放手让学生解决，充分调动全体同学的积极性，使不同层次的学生都能有不同的体验，获得不同的发展。

一、教学实录

1．复习回顾与新课引入

教师简单回顾了之前学习的课程内容后，面向全体学生提出问题：根据公共点的情况，

教师指出，直线在平面内的情形，公理1已经解决，直线与平面相交的情形将在后续课程中研究，本节课我们将研究直线与平面平行这一位置关系．

教师面向全体同学提问：根据直线与平面平行的定义（没有公共点）来判定直线与平面平行你认为方便吗？谈谈你的看法．

生3：（学生讨论后）由直线的无限延伸性和平面的无限延展性，直观上仅由定义不易判定直线与平面平行．

让学生体会本节课学习的必要性，引出课题。

【设计意图】学生已有的知识储备是直线与平面平行的定义．从数学学科内部发展的需要来引起认知冲突并说明本课学习的必要性，逻辑性强，有利于知识系统的主动建构．

2．定理的动态生成过程

根据日常生活的观察体验，教师提问：从直观上感知哪些实例给我们以直线与平面平行的印象？

生4：教室的日光灯与地面平行。

生5：黑板的边缘与地面平行。

生6：课桌上的笔与地面平行，足球场上球门的横梁与足球场平行……

从学生列举的日光灯的实例出发，教师提问：如果将日光灯平稳下降，日光灯与地面越来越近，最终……

生7：最终日光灯管会落到地面．

师：对，日光最终灯管会平稳地落到地面．

教师利用多媒体动态演示这一过程，并将原来日光灯所在直线记作a，平移到地面（记作平面α）内之后记作直线b，提问：直线a与b是什么位置关系？

生：一条！

师：（追问）为什么？

生9：平面内的无数条直线都可以通过平面内的一条直线平移得到．

师：非常好．

教师抓住时机，面向全体学生发问：大家能得到空间直线与平面平行的一个判定方法吗？

学生思考片刻后，生10举手发言，教师及时肯定学生并纠正其提法，得到定理并板书（教师带领全体学生齐声诵读定理内容）。

直线和平面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线和此平面平行．

师：“该直线”是指哪条直线？

生：平面外的那条直线．

接下来，教师引导学生通过动手实验操作，进一步确认定理的正确性．

教师取出预先准备好的两张矩形纸板，请两位学生（生11、生12）走上讲台，生11将其中一个矩形的一边放在另一个矩形上并转动（如图2），观察该矩形的对边与另一个矩形所在平面的位置，给人以平行的感觉，并能说明定理的正确性．教师引导生12将矩形折去一个角后，折痕所在直线与另一个矩形所在平面就不平行了（如图3）．这样，从反面验证了定理的正确性．

5所示。

随后，为深刻理解定理，教师给出如下的问题。

想一想：判断下列命题的真假并说明理由。

①若一条直线不在平面内，则该直线与此平面平行；

②若一条直线与平面内的无数条直线平行，则该直线与此平面平行；

③若平面外的一条直线不与平面内的定直线a平行，则该直线不与此平面平行。

学生思考后，教师提问两位学生（生16、生17），并要求他们修改条件使命题正确．生16、生17回答得很好，教师对他们提出了表扬．

【设计意图】定理的发现与论证过程采用了“观察模型一直观感知—理性分析—抽象概括—操作确认—思考探究”的方式展开．人教版教材中回避了定理的理论证明，但考虑到数学的理性精神及良好的学情状况，在定理的生成过程中教师仍然强调了“说理”．在教师的引导下，经过推理，定理生成．考虑到学生主体未能直接动手操作，印象未必深刻．为此，设计了两个学生活动，让学生在动手操作中体会定理的正确性，给他们充分的思考时间与空间，让他们主动建构新知．

师：能说明理由吗？

生22表示没有想好．教师引导并鼓励全体学生继续探究，约三分钟后，生23给出了证明．在教师的引导下，大家对该生的精彩回答报以热烈的掌声．

【设计意图】“证一证”是为了让学生通过动手尝试证明问题，掌握运用定理解决问题的一般方法，并进一步体会运用定理需满足的三个要点缺一不可，学生经历了解题过程后主动发现运用定理的关键是找平行线．“操作思考”更是借助一题多解关注不同层次的同学的不同发展需求，让不同的同学获得不同的发展．

4．小结与作业

引导学生回忆整个课堂教学进程，谈谈自己的体会与收获．生24从知识、方法和思想等方面作了较为详实的小结．教师及时肯定，并请另一位学生（生25）作了补充完善，完成了课堂小结．

作业部分，给出分层作业，对不同层次的学生提出了不同的要求．

【设计意图】回避了教师“走过场”式的小结，还学生以学习主体的地位，让他们自己谈体会谈收获谈疑惑。一方面，带领学生回忆整节课的内容以加深印象；另一方面，检验一下教学效果，为后面的教学安排提供依据．分层作业显然尊重了不同学生的现实差异．

二、课例评析

本课的教学，教师注重引导学生对身边事物的观察，通过直观感知、探究说理、操作确认等手段，归纳出直线与平面平行的判定定理．并通过“想一想”（文字判断题）来深化学生对判定定理的认识，利用一个“证一证”（及其变式）以及一个可以多解的“操作思考”来强化定理的应用．

笔者结合现场观摩的感受对此课例作一点评．

1．亮点评析

（1）注重“说理”，弘扬理性精神。

数学知识的逻辑性很强，这是数学区别于其他学科的一个显著特点．学生学习数学的过程就是一个“讲道理”的思维过程，在这个过程中处处渗透了数学的思想和方法．教师的教学过程中力求体现这一理念，注重把握数学本质，保证知识的科学性、注意数学的严谨性，处处讲理．

直线与平面平行的判定定理是高中课标中第一个不要求证明、而通过让学生直观感知、操作确认而获得的几何结论，但不证明并不意味着“不讲理”．教师巧妙地设计了将“灯管”降至地面，并平移以“铺满”整个平面来阐明这样一个基本事实：平面内的任意一点均在某条直线上，这条直线与平面外的直线a平行．因此，平面外的直线与该平面没有公共点，辅以多媒体的动态演示，学生当然不难接受．事实上，这种处理方式是借由师生活动代替了传统的“反证法”的证明，其本质是一致的．

“说理”的好处如下：其一，避免出现直接采信只经过直观操作、感知确认等合情推理手段得到的结论，误认为不需要严格证明；其二，推理过程牵涉到空间点、线、面的位置关系，有利于学生进一步理解点、线、面位置关系及几个公理；其三，有助于学生全面准确理解判定定理，同时也利于良好思维习惯与学习品质的养成．

（2）尊重学生，凸显主体地位。

我们始终倡导数学课堂教学过程的每一个环节的着力点，都应放在教会学生学习、充分发挥学生主体作用上．我们看到，在该课例中，教师的课堂教学从始至终都充分尊重了学生的主体地位．无论是课堂教学的引入、定理的发现还是定理的应用，都是在教师的有效引导下，学生自主完成的，学生是主角；教师扮演的只是一个组织者、引导者和合作者，是配角．

纵观整个课堂教学，我们既看到了教师与全体学生之间问答流畅，实验操作活跃，也看到了个别学生的生动展示．

当学生回答正确时，教师都能够及时表扬，给学生以激励．同时，当学生出现表述不规范（如“b属于α”）或理解不正确（如生20在“操作思考”题中的错误观点）时，教师都能敏锐地捕捉到，并耐心细致地帮其纠正，直至学生弄懂为止．这些做法充分尊重了不同层次学生尤其是相对落后的学生的学习需求，值得肯定．另外，分层设置问题（如“操作思考”题有一题多解的可能，这为不同层次的学生都提供了展示的机会），分层布置作业都体现了“不同的人在数学上得到不同的发展”的课标要求．

（3）精巧设计，低起点高立意

章建跃先生在文[1]中特别指出，数学课堂的教学实践要努力做到“低起点与高立意”．这节课，教师在这方面有很好的表现．从学生身边的实例入手，引导学生学生活中的数学，这是低起点；将灯管平移后在地面“平铺”以布满平面，这是高立意．利用三角形的中位线找线线平行关系来证明线面平行，这是低起点；拓展到平面内判定直线平行的一般方法，这是高立意．在简单情境中运用判定定理，这是低起点；上升到处理立体几何问题的一般降维处理方法，这是高立意．“操作思考”题中，前两种解答方法是低起点，第三种画线方式是高立意……

（4）雕琢语言，显精炼重启发。

教师的教学语言做到了表述严密、措词精当．例如，教师在阐述平行移动日光灯管到地面时，强调“日光灯管可以平稳地落到地面来”．“平稳”二字准确地揭示了客观事物的本质特征，给学生以清晰的正确认识．另外，数学语言精准，如“平面外”“平面内”“在平面内平移直线b”“折痕所在直线”“书脊所在直线”等．

教师的教学语言简洁明快，干净利落，不拖泥带水，不重复罗嗦．该讲的地方教师做到了讲清、讲透，不该讲的地方教师一句废话没有．例如，在形成定理前的说理过程中，阐明平面外的直线与平面没有公共点时，在学生回答的基础上，教师作了规范的表述．而在学生分组讨论、回答问题、上黑板板演时，教师惜字如金，留给学生充足的思考时间．

教师善于在学生处于“愤徘”之时，用启发性的语言给予恰当的点拨引导，促使学生开动脑筋，积极主动地去探求解决问题的途径．例如，在学生回忆平面几何中判定直线平行的途径时，在学生说明“操作思考”题中的方法3的正确性而陷入困境时，在学生课堂小结时，教师都做到了适时点拨，及时引导．

参考文献：

[1] 章建跃. 中学数学课改的十个论题[J].中学数学教学参考（上旬），2010（3）、（4）、 （5）.

[2] 黄智华. 数学教学应关注学生思维能力的培养[J].中国数学教育（高中版），2014（1/2）.

[3] 李瑛华. 学生主体参与数学课堂教学的基本策略、途径和方法[J].数学通报，2007（1）.