【连载】古巴比伦人的数学成就（二）

接上节：【连载】古巴比伦人的数学成就（一）

巴比伦人怎样进行除法运算

从一些泥板书里可以看出下面的对应：

如果你在现在的伊拉克的土地上发掘这样的泥板书，你能了解这是什么意思吗？四十多年前考古学家发现了这事实上就是巴比伦人的“倒数表”。我现在把以上的表改写：

你可以看出这就是把整数 n 的倒数用60进的分数来表示。比方说27对应2,  13,  20的意思就是：

你会注意到以上的表缺少了：7，11, 13，14，17，19，21，23，26，28，31，33，35等等，这是什么原因呢？

原来是这样：巴比伦人只列下以60进位制的分数表示式是有限长的那些整数，而这些整数只能是（这里 a，b，c 是大于或等于零的整数）的样子。

对于7来说，它的倒数如果是以60进位数表示将得到循环分数，即8，34，17，8，34，17，…一直到无穷。对于11也是如此我们得到5，27，16，21，49然后重复以上的样式以至无穷。

为什么要构造这样的“倒数表'呢？

我们在小学学计算：先学加，然后学减。先学乘，然后学除。如果现在要算a÷b,我们可以把这问题转化成为“a×（），这样只要知道b的倒数，我们就“化除为乘'，计算有时是会快捷一些。

古代的巴比伦人也懂得这个道理，因此在实际生活上，如在灌溉，计算工资，利息，税项，天文等同题上遇到除的问题，就尽可能将它转变为乘的问题来解决，这时候“倒数表'就很有用了。

我这里没有讲巴比伦人怎么样在60进位制上如何加、减、乘、除。兴趣数学的读者可以动脑筋想像如果你是生在4000年前的巴比伦，你在小学是怎么样学加、减、乘、除，你可以告诉我你的发现。

巴比伦人在代数方面的贡献

有一块列号为AO8862的泥板书向后人揭开了巴比伦人解代数方程的方法，人们惊奇的发现他们的解法是很巧妙的。

泥板书的问题是这样：“已知长×宽十长一宽=3，3而长＋宽=27问长，宽是多少？'

具有高水平的数学知识

现在收藏在美国耶鲁大学图书馆的巴比伦文物，有一块泥板书向后来的人揭露古代的巴比伦人在两三千年前就具有很高水准的数学知识。

两位巴比伦考古学家奈克包威尔(Neugebauer)和萨赫士 (Sachs)把这块有一个正方形．及两条对角线的数字翻译出来得到了下面的数字（图三）。

我们知道正方形的两条对角线互相垂直，而一个两腰都等的直角三角形，如果一腰是1单位长，则其斜边的长是等于单位。

 这个数在鉕今20(用年前的希腊数学家欧几里得的书《几何原本》证明它不是有理数，即找不到两个既约整数 p，q 使得

  

欧几得是用反证法证明，假定以上的关系成立。在等式两边平方则得，即因此 p，是偶数，它可以写成p=2k的形式。由此我们可以得到（2k）²=4k²=2q²，即 q²=2k 同理 q 也是偶数。这样 p，q 就有一个公约数2，这就和 p，q 是既约整数的假设矛盾因此是无理数。

虽然如此，我们仍旧可以用一些分数或小数来表小这个无理数的近似值。在数学上有一种用实数逐渐迫近的方法，牛顿曾经用过，因此有人称这方法为牛顿法，这方法是这样，我们要找比方说的近似值，取一个，则，现在我们取

 如果我们把以上10进位制的表示月60进位制表示，那么

      

巴比伦人在几何的贡献

巴比伦人以三为圆周率的近似值，知道算圆面积圆柱体和角柱体的体积，而且由十在天文上的需要，给出角度 θ 在31°和 40°之间的余割表(cosecant table)。

巴比伦人和中国人民一样很早知道直角三角形边和斜边的平方关系（即“商高定理'：直角三角形两边的平方和等于斜边的平方。）令人感到奇怪的是巴比伦人考虑的一些几何问题，中国古代数学家也有类似的东西                            

例如在距今3000多年前的泥板书有一个这样的儿何问题：“一树枝长0；30单位靠在墙匕顶端滑下0；6单位后，问此树枝底端离墙多远？”

另外一个问题是这样：“一梯原先是靠在墻上，当我从顶端的原位置拉下3单位，底端滑离墻9单位，问梯原长多少？'

这些问题需用商高定理来解决。有一块公元前年到公元前1900年之间的泥板书，现在藏在美国哥伦比亚大学，列号为Plimton 322。在1943年时一些人认为这是巴比伦人的商业纪录。

在1945年有人拿这块泥板书给奈克包威尔看，他经过一段时间研究发现这是有关数论的最早资料，巴比伦人在这泥板书上写上一些整数，这些整数能组成直角三角形的边。

它本身并不大．只有5吋长3吋半宽。有四列数据，从右边到左看，第一列是代表“行数'，第二列是代表“斜边'd, 第三列是代表“直角三角形的一边'b，最初不容易知道最左边那列数的意义。后来奈克包威尔发现如果令了，那么最左端的数是代表。这些资料显示巴比伦人早在三千多年前就已经知道求“商高方程'的整数解了。

商高方程的正整数解

怎样寻找方程的正整数解呢？

这里我介绍一个简单的寻找方法，很可能古代的巴比伦人也是用这方法得到商高方程的一般解公式。

我们假定x,y,z的解是这个样子的： x=a+t,  y=b+t,  z=a+b+t这里a,b,t都是未知数我们随后要决定。把x,y,z的值代进商高方程可以得到：

（a+t）²+（b+t）²=（a+b+t）²简化可以得到t²-2ab=0

如果现在设那么从以上的式子我们可以得到

因此本来是三个未知数a,b,t现在变成可以用两个未知数u,v来取代。我们代回得：

可是在一般的数论书和人们写的文章x,y,z,的整数解是写成底下的形式：

这是怎么的得到的呢？

如果在公式1里我们令则我们可以把公式1变成公式2。反过来，如果我们用其他方法得到公式2，我们令则我们可以得到公式2。因此公式1和公式2是等价的。

对于一些懂三角学的人，他们可以利用三角公式得到商高方程的整数解。

我们知道对于任何实数t。一定存在一个角一使得这角的正

切是等于t，即

现在看底下的直角三角形OAB。

内容转载自:《数学和数学家的故事第一册》，作者李学数