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从求直角三角形斜边上的高谈起 ——由特殊方法到通性通法 （作者：袁朝川） 典例回顾 在勾股定理这章的学习中，经常遇到这道题： 【例1】 已知Rt△ ABC中，AC=3，BC=4，CD为斜边AC上的高，求CD的长. 我考查过学生，也咨询过几个数学老师，对于例1，几乎所有的老师和大部分学生求倾向于使用面积法，解法如下： 问其理由，老师对于这样的图形太熟悉，用等面积就可以实现代换，而大部分学生知道使用等面积代换是因为，辅导班的老师已经讲过，用这种方法简单。当问及是否还有其它办法的时候，老师和学生的反映也几乎是一样的，再想想，看能不能……其实，与此题类似的还有这道题目： 例2 如图，已知AC=15，AB=14，BC=13，CD垂直AB于D，求CD的长. 对于例2 ，几乎所有老师都没有考虑使用等面积法，只有一个学生使用了等面积法。仔细咨询原因，发现，都清楚CD是AB边上的高，底边也已知，想要求出高，只需要知道三角形的面积,但是这里的面积不如例1的面积好求，于是马上就放弃了此种方法，寻找新的方法。思考1： 对于例1，例2 ，我们从本质去分析，都是求线段的长度，勾股定理是直角三角形中求线段长度最常用的方法，这里有直角三角形，考虑使用勾股定理。 直接设未知数：设CD=x, 建立了一个关于x的无理方程.解这个方程即可. 实际上，现在学生还没学习有关二次根式的内容，即便已经学过，对于这类型的无理方程也觉得很不容易的，于是能思考到这一步就很不错，至于能否继续进行，要看学生功底，实际中的情况上是，很多学生没有思考到这一步，实际上 这一步是非常常规的思路，求线段长，设未知数，由勾股定理表示出线段长度，再建立等量关系，并解方程。在数学中，我们也会时常遇到类似的情况，直接设未知数容易，建立等量关系容易，但是解方程难。 思考2： 既然直接设未知数不行，考虑间接设未知数，设AD=x.则
小结： 至此，对于这两道题目，我们可以探索出三种方法，三种通用的方法： 方法一： 面积法.实际上例1 ，例2都可以使用面积法，例1可以利用直角三角形两直角边求面积，再用斜边和斜边上的高表示面积，然后建立等量关系；例2，已知三角形的三边，可利用 海伦公式（见附1）先算出三角形的面积，然后，利用三角形的面积公式可求出任意一边上的高. 方法二： 直接设未知数法.设CD=x,利用勾股定理分别表示出AD、BD，再由线段AB的长建立等量关系，得到一个无理方程，解这个方程即可（见附2），但不好求解； 方法三：间接设未知数法.设AD=x（或BD=x），分别用勾股定理表示出CD2，再由CD2建立等量关系，，然后化简，最后解一个一元一次方程即可。 [后记] 其实在解题的过程中，方法不在多，而在于怎么想到的？对于面积法，不管是例1还是例2，应该属于技巧，正因为是技巧，学生接受快，因为能快速解决问题，但不是通性通法，怎么才能想到呢？如果已经熟练掌握了面积法，甚至掌握了海伦公式等技巧，面积法不失为一种好办法，简单又容易想到。 在解题过程中，一定要思考，这些思考不是简单浏览和思想上一掠而过，是深究每一步遇到的问题与困难。有了问题，才有解决问题的下一个步骤。 对于方法二直接设未知数法，是通性通法，思考过程容易，但是在解决问题的时候有些困难，又该怎么办？这才有第三种办法，间接设未知数法，可以巧妙的化简求解。 总之，技巧是用来欣赏的，而“化巧不为巧”才是真本领，着眼于基本思考的方法，但不一定是万能的办法。由特殊方法到通性通法，是培养学生解题能力的一种很好的教学策略. 附1海伦公式(北师大教材八上第51页) 附2方法二的一种解法： |
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间接设未知数，利用勾股定理建立等量关系，得到一个一元一次方程，很快得出答案.
