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前日有幸聆听了于新华老师的讲座《从变换的角度看解题》，深有感触受益匪浅。于特从动态和全局的高度思考问题，抓住问题的整体关系，明晰图形的变换过程，从而使解题过程变得自然而高效。 由此，我想到了我们的数学教学，有些老师自己是解题高手，见多识广博闻强记，讲题时语言流畅思路清晰，巧法妙招从天而降层出不穷，台下学生听得如痴如醉心悦诚服。但是然后呢？也许对很多学生来说，就没有然后了。因为再遇到稍加变化的类似问题就不知所错无从下手了。 之前写过一文《数学老师，请别做魔术师！》，在很多学生眼里，数学老师就是一位厉害的魔术师—— 魔术师技艺纯熟、功夫深厚，在台上的表演让人眼花缭乱目不暇接，一会儿从空气中变出一朵漂亮的玫瑰，一会儿从口袋里变出一只鲜活的兔子。观众不时发出惊叹，“哇，好厉害耶！”但是除了看个热闹以外，观众没有什么收获，看一百次表演也学不会一个魔术。 不少数学老师的课堂也是如此！ 对数学知识和方法的理解有不同的层次：数学是有条理的，数学是讲道理的，数学是含哲理的。所站高度不同，看到的世界不同。在地面行走容易迷失，这时抬头看看天上的太阳或星星就能找到正确的方向。 孟子说：“贤者以其昭昭使人昭昭，今以其昏昏使人昭昭。” 老师不是搞解题的，而是搞解题教学的，解题的方法与步骤仅仅是最后的结果，前期的思考方向与切入角度、探索发现与尝试调整等才是最重要的，而解题的根基又在于对数学知识与方法的理解深度。平时教学要善于从更高的视角整合知识与方法，使之更立体更自然更易理解更具普适性。没有这些，教学就是只见树木不见森林，只见地之阔而不知天之高，就会生涩与昧暗，记忆和模仿占据了学习过程，思维始终隐藏在黑箱里见不到阳光。 下面以实例探讨一下如何在数学知识教学中中渗透运动变换的思想，以更深刻更灵动地理解知识的本质。 从哲学的眼光来看，事物是普遍联系的，事物是运动变化的，这两者是一致的，即事物通过运动变化而产生普遍的联系。科学是什么？不就是找寻事物之间的联系和运动变化的规律吗？学习知识就不能用静止的孤立的方式，否则那是死的无用的假知识，不可能被灵活运用而产生力量。 化静为动之（1）：如何理解平行线的性质 平行线的性质与判定是几何推理的起步，在整个学习过程中有非常重要的作用。但是学完了平行线知识之后，遇到需要构造辅助线的题目，很多学生为什么不会呢？ 我们看下平行线被截的相关角如何通过运动而联系的，如下图： 平行线的性质可以看成角的平移和旋转变换，这样理解的好处：直观形象更易理解、更易记忆、联系更直接、图形更易生成。 如果学生能从这个角度去理解的话，后面证明三角形内角和的辅助线就不需要老师苦于如何引导学生想到作平行线。 如下图，2个问题就可以引导学生完成：（1）三个角的和怎么操作才能得到？（2）学过的等角变换知识是什么？（3）先用变换的方法操作一下，再思考怎么证明。 操作的方法可以有以下几种： 操作完成，证明方法还难想吗？ 再如，对下面的题目，还会觉得产生那条平行线很难吗？没有对平行线性质的动态理解和问题的整体把握，单是告诉学生要作平行线，会不会让学生感觉那条平行线是从天而降难以捉摸？ 化静为动之（2）：与中点相关的构造 已知：△ABC中，点E为中线AD中点，连BE并延长交AC于点F. 求证：CF=2AF，BE=3EF 首先，如何理解线段的中点？如图M是AB的中点，从动态的角度来看，AM是AB缩小一半得到的，AB是AM放大一倍得到的，BM是AM旋转180度得到的。 有了以上的理解，下面的辅助线还难想吗？找一个与中点有关的△AEF，AE放大2倍是AD，AF放大2倍得AN，自然而然轻松得到辅助线。 换个角度，△AEF中，A点绕E旋转180°得D，F点绕E旋转180°呢？下图随手画出。 随便换个三角形，就看△BED吧，绕E旋转180°，也可以绕D旋转180°，如下图。
再把△BED沿BE方向放大2倍，也可以沿DB方向放大2倍，如下图。
如此信手拈来，还有不少类似变换方法不再赘述。有关中点的问题根本不需要搞什么倍长中线，截取中点之类的口诀，以中点为参照进行放大、缩小、对称变换即可。 化静为动之（3）：动起来，找个好位置
由条件判断CE的长度不确定，则E点的位置可动，把E点移到特殊位置是不是非常简单？
当然，还需要找一般方法，同样地，从条件出发，CE与DE的平方和确定，容易想到以CE与DE为直角边的三角形斜边是确定的，于是把CE或DE变换一下，把它们放置到一个直角三角形中，如下图：
化静为动之（4）：轨迹怎么找
要确定BD的最值，通常先要确定D点的运动轨迹。怎么看呢？还是从运动变化的角度寻找联系。D点与其它点是什么关系？显然C点向右平移定长OA得D点，所以把C点的运动路径向右平移定长OA得D点运动路径，即把圆O向右平移OA的长度，如下图所示。
怎样才能想到上面的思考角度？这就要在学习平行四边形时弄清楚怎么看平行四边形：（1）可以看成由一条线段平移而形成；（2）可以看成三角形绕一边中点旋转180°而形成；（3）可以看成三角形绕项点旋转180°而形成。另一方面，要理解个体与整体的关系：点是树木，轨迹是森林，从动点与主动点的轨迹有对应关系。 怎样才能让解题更直观，更自然，更容易，更有趣？单单传授技巧套路一定是不行的，数学是讲道理的，是符合逻辑的，是符合人的认知特点的。解题方法不是从天而降的神来之笔，也不是死记硬背的繁复套路。大道至简至易，要引导学生不断提炼和运用统率万法的根本之道。 解题教学不是孤立的，解题策略和方法就包含在数学知识之中，在知识教学时就要引导和训练学生从更高的观点和不同的视角看待同一个知识，特别是要让学生学会从全局和动态的视角思考问题。 |
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