锐角三角函数

 

2017年中考备考专题复习：锐角三角函数

一、单选题（共15题；共30分）

1、（2016·巴中）一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是（　　）

A、斜坡AB的坡度是10°
B、斜坡AB的坡度是tan10°
C、AC=1.2tan10°米
D、AB= 米

2、（2016·金华）一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（  ）

A、
米²
B、
米²
C、（4+ ）米²
D、（4+4tanθ）米²

3、（2016·泰安）如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上，航行2小时后到达N处，观测灯塔P在西偏南46°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为（由科学计算器得到sin68°=0.9272，sin46°=0.7193，sin22°=0.3746，sin44°=0.6947）（　　）

A、22.48
B、41.68
C、43.16
D、55.63

4、（2016·重庆）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1： ，则大楼AB的高度约为（　　）（精确到0.1米，参考数据： ≈1.41， ≈1.73， ≈2.45）

A、30.6
B、32.1
C、37.9
D、39.4

5、（2016·聊城）聊城“水城之眼”摩天轮是亚洲三大摩天轮之一，也是全球首座建筑与摩天轮相结合的城市地标，如图，点O是摩天轮的圆心，长为110米的AB是其垂直地面的直径，小莹在地面C点处利用测角仪测得摩天轮的最高点A的仰角为33°，测得圆心O的仰角为21°，则小莹所在C点到直径AB所在直线的距离约为（tan33°≈0.65，tan21°≈0.38）（　　）

A、169米
B、204米
C、240米
D、407米

6、（2016·娄底）如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B、C不重合），作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则BE+CF的值（　　）

A、不变
B、增大
C、减小
D、先变大再变小

7、（2016·攀枝花）如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD=（　　）

A、
B、
C、
D、

8、（2016·安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（　　） 

A、2
B、
C、
D、

9、（2016·西宁）如图，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C= ，AB=6cm．动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（  ）

A、18cm²
B、12cm²
C、9cm²
D、3cm²

10、（2016·陕西）如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（  ）

A、3
B、4
C、5
D、6

11、（2016·陕西）已知抛物线y=﹣x²﹣2x+3与x轴交于A、B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC、BC，则tan∠CAB的值为（  ）       

A、
B、
C、
D、2

12、（2016·义乌）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（  ）

A、
B、
C、
D、

13、（2016·内蒙古）如图，某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘正在南海巡航的渔政船前往救援，当飞机到达海面3000m的高空C处时，测得A处渔政船的俯角为45°，测得B处发生险情渔船的俯角为30°，此时渔政船和渔船的距离AB是（  ） 

A、3000 m
B、3000（ +1）m
C、3000（ -1）m
D、1500 m

14、（2016·济南）济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计， ≈1.7，结果精确到1m，则该楼的高度CD为（  ） 

A、47m
B、51m
C、53m
D、54m

15、（2016·益阳）小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C=α（B′C为水平线），测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（　　） 

A、
B、
C、
D、

二、填空题（共5题；共6分）

16、（2016·陕西）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．
A．一个多边形的一个外角为45°，则这个正多边形的边数是________．
B．运用科学计算器计算：3 sin73°52′≈________．（结果精确到0.1）   

17、（2016·潍坊）已知∠AOB=60°，点P是∠AOB的平分线OC上的动点，点M在边OA上，且OM=4，则点P到点M与到边OA的距离之和的最小值是________．   

18、（2016·舟山）如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（﹣1，0），∠ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ= ，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为________．

19、（2016·孝感）如图示我国汉代数学家赵爽在注解《周脾算经》时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形ABCD的面积是小正方形EFGH面积的13倍，那么tan∠ADE的值为________

20、（2016·曲靖）如图，在矩形ABCD中，AD=10，CD=6，E是CD边上一点，沿AE折叠△ADE，使点D恰好落在BC边上的F处，M是AF的中点，连接BM，则sin∠ABM=________． 

三、计算题（共1题；共5分）

21、（2016·自贡）计算：（ ）^﹣1+（sin60°﹣1）⁰﹣2cos30°+| ﹣1|   

四、综合题（共5题；共61分）

22、（2016·南充）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于点O，OC=1，以点O为圆心OC为半径作半圆．

(1)求证：AB为⊙O的切线；   

(2)如果tan∠CAO= ，求cosB的值．   

23、（2016·宁波）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（5，0），菱形OABC的顶点B，C都在第一象限，tan∠AOC= ，将菱形绕点A按顺时针方向旋转角α（0°＜∠α＜∠AOC）得到菱形FADE（点O的对应点为点F），EF与OC交于点G，连结AG．

(1)求点B的坐标．   

(2)当OG=4时，求AG的长．   

(3)求证：GA平分∠OGE．   

(4)连结BD并延长交x轴于点P，当点P的坐标为（12，0）时，求点G的坐标．   

24、（2016·达州）如图，已知AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，连接AC，BC，过点O作OD⊥AC于点D，过点A作半圆O的切线交OD的延长线于点E，连接BD并延长交AE于点F．

(1)求证：AE·BC=AD·AB；   

(2)若半圆O的直径为10，sin∠BAC= ，求AF的长．   

25、（2016·梅州）如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．

(1)求证：CD是⊙O的切线；   

(2)若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．   

26、（2016·徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣ ），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D

(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标；   

(2)若P为y轴上的一个动点，连接PD，则 PB+PD的最小值为________；   

(3)M（x，t）为抛物线对称轴上一动点
①若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有             个；
②连接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．   

 

答案解析部分

一、单选题

【答案】B                   
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题               
【解析】【解答】解：斜坡AB的坡度是tan10°= ，故B正确；
故选：B．
【分析】根据坡度是坡角的正切值，可得答案．本题考查了坡度坡角，利用坡度是坡角的正切值是解题关键．   

【答案】D                   
【考点】解直角三角形的应用               
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，BC=AC·tanθ=4tanθ（米），
∴AC+BC=4+4tanθ（米），
∴地毯的面积至少需要1×（4+4tanθ）=4+tanθ（米²）；
故选：D．
【分析】由三角函数表示出BC，得出AC+BC的长度，由矩形的面积即可得出结果．本题考查了解直角三角形的应用、矩形面积的计算；由三角函数表示出BC是解决问题的关键．   

【答案】B                   
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题               
【解析】【解答】解：如图，过点P作PA⊥MN于点A，

MN=30×2=60（海里），
∵∠MNC=90°，∠CPN=46°，
∴∠MNP=∠MNC+∠CPN=136°，
∵∠BMP=68°，
∴∠PMN=90°﹣∠BMP=22°，
∴∠MPN=180°﹣∠PMN﹣∠PNM=22°，
∴∠PMN=∠MPN，
∴MN=PN=60（海里），
∵∠CNP=46°，
∴∠PNA=44°，
∴PA=PN·sin∠PNA=60×0.6947≈41.68（海里）
故选：B．
【分析】过点P作PA⊥MN于点A，则若该船继续向南航行至离灯塔距离最近的位置为PA的长度，利用锐角三角函数关系进行求解即可此题主要考查了方向角问题，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．   

【答案】D                   
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题               
【解析】【解答】解：延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，如图所示：

则GH=DE=15米，EG=DH，
∵梯坎坡度i=1： ，
∴BH：CH=1： ，设BH=x米，则CH= x米，
在Rt△BCH中，BC=12米，
由勾股定理得：x²+（ x）²=12²  ， 解得：x=6，
∴BH=6米，CH=6 米，
∴BG=GH﹣BH=15﹣6=9（米），EG=DH=CH+CD=6 +20（米），
∵∠α=45°，
∴∠EAG=90°﹣45°=45°，
∴△AEG是等腰直角三角形，
∴AG=EG=6 +20（米），
∴AB=AG+BG=6 +20+9≈39.4（米）；
故选：D．
【分析】延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，则GH=DE=15米，EG=DH，设BH=x米，则CH= x米，在Rt△BCH中，BC=12米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH=6米，CH=6 米，得出BG、EG的长度，证明△AEG是等腰直角三角形，得出AG=EG=6 +20（米），即可得出大楼AB的高度．本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度、俯角问题；通过作辅助线运用勾股定理求出BH，得出EG是解决问题的关键．   

【答案】B                   
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题               
【解析】【解答】解：

过C作CD⊥AB于D，
在Rt△ACD中，AD=CD·tan∠ACD=CD·tan33°，
在Rt△BCO中，OD=CD·tan∠BCO=CD·tan21°，
∵AB=110m，
∴AO=55m，
∴A0=AD﹣OD=CD·tan33°﹣CD·tan21°=55m，
∴CD= = ≈204m，
答：小莹所在C点到直径AB所在直线的距离约为204m．
故选B．
【分析】过C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，求得AD=CD·tan∠ACD=CD·tan33°，在Rt△BCO中，求得OD=CD·tan∠BCO=CD·tan21°，列方程即可得到结论．此题主要考查了仰角与俯角的问题，利用两个直角三角形拥有公共直角边，能够合理的运用这条公共边是解答此题的关键．   

【答案】C                   
【考点】锐角三角函数的定义，锐角三角函数的增减性               
【解析】【解答】解：∵BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，
∴CF∥BE，
∴∠DCF=∠DBF，设CD=a，DB=b，∠DCF=∠DEB=α，
∴CF=DC·cosα，BE=DB·cosα，
∴BE+CF=（DB+DC）cosα=BC·cosα，
∵∠ABC=90°，
∴O＜α＜90°，
当点D从B→D运动时，α是逐渐增大的，
∴cosα的值是逐渐减小的，
∴BE+CF=BC·cosα的值是逐渐减小的．
故选C．

【分析】设CD=a，DB=b，∠DCF=∠DEB=α，易知BE+CF=BC·cosα，根据0＜α＜90°，由此即可作出判断．本题考查三角函数的定义、三角函数的增减性等知识，利用三角函数的定义，得到BE+CF=BC·cosα，记住三角函数的增减性是解题的关键，属于中考常考题型．   

【答案】D                   
【考点】勾股定理，圆周角定理，锐角三角函数的定义               
【解析】【解答】解：∵D（0，3），C（4，0），
∴OD=3，OC=4，
∵∠COD=90°，
∴CD= =5，
连接CD，如图所示：
∵∠OBD=∠OCD，
∴sin∠OBD=sin∠OCD= ．
故选：D．

【分析】连接CD，可得出∠OBD=∠OCD，根据点D（0，3），C（4，0），得OD=3，OC=4，由勾股定理得出CD=5，再在直角三角形中得出利用三角函数求出sin∠OBD即可．本题考查了圆周角定理，勾股定理、以及锐角三角函数的定义；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．   

【答案】D                   
【考点】勾股定理，勾股定理的逆定理，锐角三角函数的定义               
【解析】【解答】解：如图： ， 
由勾股定理，得
AC= ，AB=2 ，BC= ，
∴△ABC为直角三角形，
∴tan∠B= = ，
故选：D．
【分析】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数．   

【答案】C                   
【考点】二次函数的最值，解直角三角形               
【解析】【解答】解：∵tan∠C= ，AB=6cm，
∴ = = ，
∴BC=8，
由题意得：AP=t，BP=6﹣t，BQ=2t，
设△PBQ的面积为S，
则S= ×BP×BQ= ×2t×（6﹣t），
S=﹣t²+6t=﹣（t²﹣6t+9﹣9）=﹣（t﹣3）²+9，
P：0≤t≤6，Q：0≤t≤4，
∴当t=3时，S有最大值为9，
即当t=3时，△PBQ的最大面积为9cm²；
故选C．
【分析】先根据已知求边长BC，再根据点P和Q的速度表示BP和BQ的长，设△PBQ的面积为S，利用直角三角形的面积公式列关于S与t的函数关系式，并求最值即可本题考查了有关于直角三角形的动点型问题，考查了解直角三角形的有关知识和二次函数的最值问题，解决此类问题的关键是正确表示两动点的路程（路程=时间×速度）；这类动点型问题一般情况都是求三角形面积或四边形面积的最值问题，转化为函数求最值问题，直接利用面积公式或求和、求差表示面积的方法求出函数的解析式，再根据函数图象确定最值，要注意时间的取值范围．   

【答案】B                   
【考点】垂径定理，圆周角定理，解直角三角形               
【解析】【解答】解：过点O作OD⊥BC于D，
则BC=2BD，
∵△ABC内接于⊙O，∠BAC与∠BOC互补，
∴∠BOC=2∠A，∠BOC+∠A=180°，
∴∠BOC=120°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB= （180°﹣∠BOC）=30°，
∵⊙O的半径为4，
∴BD=OB·cos∠OBC=4× =2 ，
∴BC=4 ．
故选：B．

【分析】首先过点O作OD⊥BC于D，由垂径定理可得BC=2BD，又由圆周角定理，可求得∠BOC的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得∠OBC的度数，利用余弦函数，即可求得答案．此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质以及三角函数等知识．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．   

【答案】D                   
【考点】抛物线与x轴的交点，锐角三角函数的定义               
【解析】【解答】解：令y=0，则﹣x²﹣2x+3=0，解得x=﹣3或1，不妨设A（﹣3，0），B（1，0），
∵y=﹣x²﹣2x+3=﹣（x+1）²+4，
∴顶点C（﹣1，4），
如图所示，作CD⊥AB于D．

在RT△ACD中，tan∠CAD= = =2，
故答案为D．
【分析】先求出A、B、C坐标，作CD⊥AB于D，根据tan∠ACD= 即可计算．本题考查二次函数与x轴交点坐标，锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握求抛物线与x轴交点坐标的方法，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．   

【答案】B                   
【考点】解直角三角形               
【解析】【解答】解：如图所示：设BC=x，
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，
∴AC=2BC=2x，AB= BC= x，
根据题意得：AD=BC=x，AE=DE=AB= x，
作EM⊥AD于M，则AM= AD= x，
在Rt△AEM中，cos∠EAD= = = ；
故选：B．

【分析】本题考查了解直角三角形、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角函数；通过作辅助线求出AM是解决问题的关键．设BC=x，由含30°角的直角三角形的性质得出AC=2BC=2x，求出AB= BC= x，根据题意得出AD=BC=x，AE=DE=AB= x，作EM⊥AD于M，由等腰三角形的性质得出AM= AD= x，在Rt△AEM中，由三角函数的定义即可得出结果．   

【答案】C                   
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题               
【解析】【解答】解： 
如图，由题意可知CE∥BD，
∴∠CBA=30°，∠CAD=45°，且CD=3000m，
在Rt△ACD中，AD=CD=3000m，
在Rt△BCD中，BD= = =3000 m，
∴AB=BD﹣AD=3000 ﹣3000=3000（ ﹣1）（m），
故选C．

【分析】根据平行线的性质可求得∠CBA=30°，∠CAD=45°，在R△ACD中可求得AD，在Rt△BCD中可求得BD，则可求得AB．本题主要考查解直角三角形，掌握三角函数的定义是解题的关键．   

【答案】B                   
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题               
【解析】【解答】解：根据题意得：∠A=30°，∠DBC=60°，DC⊥AC， 
∴∠ADB=∠DBC﹣∠A=30°，
∴∠ADB=∠A=30°，
∴BD=AB=60m，
∴CD=BD·sin60°=60× =30 ≈51（m）．
故选B．
【分析】由题意易得：∠A=30°，∠DBC=60°，DC⊥AC，即可证得△ABD是等腰三角形，然后利用三角函数，求得答案．此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．注意证得△ABD是等腰三角形，利用特殊角的三角函数值求解是关键．   

【答案】A                   
【考点】解直角三角形的应用               
【解析】【解答】解：设PA=PB=PB′=x，  在RT△PCB′中，sinα= ，
∴ =sinα，
∴x= ．
故选A．

【分析】设PA=PB=PB′=x，在RT△PCB′中，根据sinα= ，列出方程即可解决问题．本题考查解直角三角形、三角函数等知识，解题的关键是设未知数列方程，属于中考常考题型．   

二、填空题

【答案】8；11.9                   
【考点】计算器—数的开方，多边形内角与外角，计算器—三角函数               
【解析】【解答】解：（1）∵正多边形的外角和为360°
∴这个正多边形的边数为：360°÷45°=8
2）3 in73°52′≈12.369×0.961≈11.9
故答案为：8，11.9
【分析】（1）根据多边形内角和为360°进行计算即可；（2）先分别求得3 和sin73°52′的近似值，再相乘求得计算结果．本题主要考查了多边形的外角和以及近似数，解决问题的关键是掌握多边形的外角和定理以及近似数的概念．在取近似值时，需要需要运用四舍五入法求解．   

【答案】
【考点】轴对称-最短路线问题，解直角三角形               
【解析】【解答】解：过M作MN′⊥OB于N′，交OC于P，

则MN′的长度等于PM+PN的最小值，
即MN′的长度等于点P到点M与到边OA的距离之和的最小值，
∵∠ON′M=90°，OM=4，
∴MN′=OM·sin60°=2 ，∴点P到点M与到边OA的距离之和的最小值为2 ．
【分析】过M作MN′⊥OB于N′，交OC于P，即MN′的长度等于点P到点M与到边OA的距离之和的最小值，解直角三角形即可得到结论．本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解直角三角形，正确的作出图形是解题的关键．   

【答案】4                   
【考点】解直角三角形               
【解析】【解答】解：在Rt△AOB中，∵∠ABO=30°，AO=1，∴AB=2，BO= = ，①当点P从O→B时，如图1、图2所示，点Q运动的路程为 ，
②当点P从B→C时，如图3所示，这时QC⊥AB，则∠ACQ=90°

∵∠ABO=30°
∴∠BAO=60°
∴∠OQD=90°﹣60°=30°
∴cos30°= ∴AQ= =2
∴OQ=2﹣1=1
则点Q运动的路程为QO=1，
③当点P从C→A时，如图3所示，点Q运动的路程为QQ′=2﹣ ，
④当点P从A→O时，点Q运动的路程为AO=1，
∴点Q运动的总路程为： +1+2﹣ +1=4
故答案为：4
【分析】本题主要是应用三角函数定义来解直角三角形，此题的解题关键是理解题意，正确画出图形；线段的两个端点看成是两个动点，将线段移动问题转化为点移动问题．   

【答案】
【考点】全等三角形的判定，勾股定理，锐角三角函数的定义               
【解析】【解答】解：设小正方形EFGH面积是a²  ， 则大正方形ABCD的面积是13a²  ， ∴小正方形EFGH边长是a，则大正方形ABCD的面积是 a，
∵图中的四个直角三角形是全等的，
∴AE=DH，
设AE=DH=x，
在Rt△AED中，AD²=AE²+DE²  ，
即13a²=x²+（x+a）²
解得：x₁=2a，x₂=﹣3a（舍去），
∴AE=2a，DE=3a，
∴tan∠ADE= ，故答案为： ．
【分析】小正方形EFGH面积是a²  ， 则大正方形ABCD的面积是13a²  ， 则小正方形EFGH边长是a，则大正方形ABCD的面积是 a，设AE=DH=x，利用勾股定理求出x，最后利用熟记函数即可解答．此题中根据正方形以及直角三角形的面积公式求得直角三角形的三边，进一步运用锐角三角函数的定义求解．   

【答案】
【考点】矩形的性质，翻折变换（折叠问题），解直角三角形               
【解析】【解答】解：∵在矩形ABCD中，AD=10，CD=6，沿AE折叠△ADE，使点D恰好落在BC边上的F处， 
∴AD=AF=10，
∴BF= =8，
则sin∠ABM= = = ．
故答案为： ．
【分析】直接利用翻折变换的性质得出AF的长，再利用勾股定理得出BF的长，再利用锐角三角函数关系得出答案．此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理和翻折变换的性质，得出BF的长是解题关键．   

三、计算题

【答案】解：原式=2+1﹣ + ﹣1
             =2                   
【考点】实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值               
【解析】【分析】根据负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的定义化简即可．本题考查负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等知识，熟练掌握这些知识是解决问题的关键，记住a^﹣p= （a≠0），a⁰=1（a≠0），|a|= ，属于中考常考题型．   

四、综合题

【答案】
（1）解：如图作OM⊥AB于M，
∵OA平分∠CAB，OC⊥AC，OM⊥AB，
∴OC=OM，
∴AB是⊙O的切线，
（2）解：设BM=x，OB=y，则y²﹣x²=1    ①，
∵cosB= ，
∴ ，
∴x²+3x=y²+y    ②，
由①②可以得到：y=3x﹣1，
∴（3x﹣1）²﹣x²=1，
∴x= ，y= ，
∴cosB= = ．

【考点】切线的判定，锐角三角函数的定义               
【解析】【分析】（1）如图作OM⊥AB于M，根据角平分线性质定理，可以证明OM=OC，由此即可证明．（2）设BM=x，OB=y，列方程组即可解决问题．本题考查切线的判定、勾股定理、三角函数等知识，解题的关键是记住圆心到直线的距离等于半径，这条直线就是圆的切线，学会设未知数列方程组解决问题，属于中考常考题型．   

【答案】
（1）解：如图1，过点B作BH⊥x轴于点H，
∵四边形OABC为菱形，
∴OC∥AB，
∴∠BAH=∠COA．
∵tan∠AOC= ，
∴tan∠BAH= ．
又∵在直角△BAH中，AB=5，
∴BH= AB=4，AH= AB=3，
∴OH=OA+AH=5+3=8，
∴点B的坐标为（8，4）
（2）解：如图1，

过点A作AM⊥OC于点M，
在直角△AOM中，∵tan∠AOC= ，OA=5，
∴AM= OA=4，OM= OA=3，
∵OG=4，
∴GM=OG﹣OM=4﹣3=1，
∴AG= = =
（3）证明：如图1，

过点A作AN⊥EF于点N，
∵在△AOM与△AFN中， ，
∴△AOM≌△AFN（ASA），
∴AM=AN，
∴GA平分∠OGE
（4）解：如图2，

过点G作GQ⊥x轴于点Q，
由旋转可知：∠OAF=∠BAD=α．
∵AB=AD，
∴∠ABP= ，
∵∠AOT=∠F，∠OTA=∠GTF，
∴∠OGA=∠EGA= ，
∴∠OGA=ABP，
又∵∠GOA=∠BAP，
∴△GOA∽△BAP，
∴ ，
∴GQ= ×4= ．
∵tan∠AOC= ，
∴OQ= × = ，
∴G（ ， ）．                   
【考点】全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形               
【解析】【分析】（1）如图1，过点B作BH⊥x轴于点H，构建直角△ABH，所以利用菱形的四条边相等的性质和解该直角三角形得到AH、BH的长度，则易求点B的坐标；（2）如图1，过点A作AM⊥OC于点M，构建直角△OAM和直角△AMG，通过解直角△OAM求得直角边AM的长度，然后结合图形和勾股定理来求AG的长度；（3）如图1，过点A作AM⊥OC于点M，构建全等三角形：△AOM≌△AFN（ASA），利用该全等三角形的对应边相等得到AM=AN，最后结合角平分线的性质证得结论；（4）如图2，过点G作GQ⊥x轴于点Q，构建相似三角形：△GOA∽△BAP，根据该相似三角形的对应边成比例得到求得GQ的长度．结合已知条件tan∠AOC= ，来求边OQ的长度，即可得到点G的坐标．本题考查了四边形综合题．解题过程中，涉及到了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，解直角三角形以及勾股定理等知识点，解答该题的难点在于作出辅助线，构建相关的图形的性质．   

【答案】
（1）证明：∵AB为半圆O的直径，
∴∠C=90°，
∵OD⊥AC，
∴∠CAB+∠AOE=90°，∠ADE=∠C=90°，
∵AE是切线，
∴OA⊥AE，
∴∠E+∠AOE=90°，
∴∠E=∠CAB，
∴△EAD∽△ABC，
∴AE：AB=AD：BC，
∴AE·BC=AD·AB．
（2）解：

作DM⊥AB于M，
∵半圆O的直径为10，sin∠BAC= ，
∴BC=AB·sin∠BAC=6，
∴AC= =8，
∵OE⊥AC，
∴AD= AC=4，OD= BC=3，
∵sin∠MAD= = ，
∴DM= ，AM= = = ，BM=AB﹣AM= ，
∵DM∥AE，
∴ ，
∴AF= ．                   
【考点】勾股定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义               
【解析】【分析】（1）只要证明△EAD∽△ABC即可解决问题．（2）作DM⊥AB于M，利用DM∥AE，得 求出DM、BM即可解决问题．本题考查切线的性质、勾股定理、三角函数、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．   

【答案】
（1）证明：连接OC．

∵AC=CD，∠ACD=120°，
∴∠A=∠D=30°．
∵OA=OC，
∴∠2=∠A=30°．
∴∠OCD=180°﹣∠A﹣∠D﹣∠2=90°．即OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∵∠A=30°，
∴∠1=2∠A=60°．
∴S_扇形BOC= ．
在Rt△OCD中，
∵ ，
∴CD=2 ．
∴ ．
∴图中阴影部分的面积为： ．                   
【考点】等腰三角形的性质，切线的判定，扇形面积的计算，特殊角的三角函数值               
【解析】【分析】此题综合考查了等腰三角形的性质、切线的判定方法、扇形的面积计算方法．（1）连接OC．只需证明∠OCD=90°．根据等腰三角形的性质即可证明；（2）阴影部分的面积即为直角三角形OCD的面积减去扇形COB的面积．   

【答案】
（1）解：由题意 解得 ，
∴抛物线解析式为y= x²﹣ x﹣ ，
∵y= x²﹣ x﹣ = （x﹣ ）²﹣ ，
∴顶点坐标（ ，﹣ ）
（2）
（3）① 5
②解：如图，RT△AOB中，∵tan∠ABO= = ，
∴∠ABO=30°，
作AB的中垂线与y轴交于点E，连接EA，则∠AEB=120°，
以E为圆心，EB为半径作圆，与抛物线对称轴交于点F、G．
则∠AFB=∠AGB=60°，从而线段FG上的点满足题意，
∵EB= = ，
∴OE=OB﹣EB= ，
∵F（ ，t），EF²=EB²  ，
∴（ ）²+（t+ ）²=（ ）²  ，
解得t= 或 ，
故F（ ， ），G（ ， ），
∴t的取值范围 ≤t≤


【考点】待定系数法求二次函数解析式，垂线段最短，圆的综合题，锐角三角函数的增减性               
【解析】【解析】解：（2）如图1中，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，
此时 PB+PD最小．
理由：∵OA=1，OB= ，
∴tan∠ABO= = ，
∴∠ABO=30°，
∴PH= PB，
∴ PB+OD=PH+PD=DH，
∴此时 PB+PD最短（垂线段最短）．
在RT△ADH中，∵∠AHD=90°，AD= ，∠HAD=60°，
∴sin60°= ，
∴DH= ，
∴ PB+PD的最小值为 ．
故答案为 ．
（3）①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，
以B为圆心AB为半径画弧与对称轴也有两个交点，
线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，
所以满足条件的点M有5个，即满足条件的点N也有5个，
故答案为5．
【分析】（1）利用待定系数法转化为解方程组解决问题．（2）如图1中，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时 PB+PD最小．最小值就是线段DH，求出DH即可．（3）①先在对称轴上寻找满足△ABM是等腰三角形的点M，由此即可解决问题．②作AB的中垂线与y轴交于点E，连接EA，则∠AEB=120°，以E为圆心，EB为半径作圆，与抛物线对称轴交于点F、G．则∠AFB=∠AGB=60°，从而线段FG上的点满足题意，求出F、G的坐标即可解决问题．本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、最短问题、圆等知识，解题的关键是掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用垂线段最短解决实际问题中的最短问题，学会添加辅助线，构造圆解决角度问题，属于中考压轴题．