中点相遇,是指在距离中点的某个地方相遇。借助中点,可以帮我们找到两人的路程差(即‘多走的路程’是相遇地点距离中点路程的2倍),再结合速度差,可以求出相遇时间和总路程。解题时,关键要把握两种情形:同时出发和不同时出发。下面我们以几个典型试题为例进行具体分析和拓展,以便同学们熟练掌握这种题型的命题特点和答题技巧。【举一】(第二届“走进数学王国”决赛解答题第6题) 小花猫和小花狗是一对好朋友,它们分别从A、B两地同时出发,相向而行,小花猫每分钟行80米,小花狗每分钟行100米,它们在途中的C处相遇。问:A、B两地之间的距离是多少米? 考点透析:围绕中点找两人的路程差。由于小花猫先走9分钟,走了80×9=720米,结果小花猫先过中点。解题核心是找出猫和狗在‘相遇时间’内的路程差。相遇时,小花猫比小花狗多走280×2=560米,这560米是小花猫提前9分钟的结果,但为什么不是720米呢?即9分钟后,小花狗在‘相遇时间’内又追回了80×9-560=160米,进而可知‘相遇时间’是160÷(100-80)=8分钟。 解答: 280×2=560(米) 80×9-560=160(米) 160÷(100-80)=8(分) 80×9+(80+100)×8=2160(米) 答:略。 【反三】 1、甲、乙两人同时从两地相向跑步而行,甲每小时行12千米,乙每小时行10千米,两人刚好在距中点3千米处相遇,问两地相距多少千米? 考点透析: 同时出发,则相遇时间就是走完全程的时间。路程差是相遇点距离中点的2倍,2×3=6千米,再根据甲乙的速度差可以求出相遇时间。 解答: 3×2=6(千米) 6÷(12-10)=3(小时) 3×(12+10)=66(千米) 答:略。 2、甲、乙二人从A,B两地同时出发相向而行,甲每分钟行80米,乙每分钟行70米,出发一段时间后,二人在距中点60米处相遇。如果甲晚出发一会儿,那么二人在距中点220米处相遇。甲晚出发了多少分钟? 考点透析: 甲晚出发的时间=乙第二次需要的时间-甲第二次需要的时间。题目中有两个与中点相关的路程,根据第一次相遇地点与中点比较,可以求出总路程;根据第二次相遇地点与中点比较,可以求出第二次相遇后,甲、乙各自行走的路程和时间。 解答: 60×2÷(80-70)=12(分) 12×(80+70)=1800(米) (1800÷2+220)÷70=16(分) (1800÷2-220)÷80=8.5(分) 16-8.5=7.5(分) 答:略。 3、在一个边长为17米的正方形ABCD的A点,有红、蓝两个甲虫从9点开始,同时沿着边以相同的速度爬行。红甲虫由A-B-C-D,蓝甲虫由A-D-C,9:30红甲虫爬到AB间距A点10 米的E点后继续向前爬行,10:15爬到BC间的F点,再经过C向前爬去,蓝甲虫爬到AD间距D点5米的G点,休息一会再往前爬行。当两个甲虫在CD上H点相遇时,凑巧四边形EFHG的面积是正方形面积的一半,问蓝甲虫在G点休息了多长时间? 考点透析: 这个题目的核心是考察中点相遇。两虫速度相同,如同时出发,中途不休息,两虫会同时到达C点(即中点),但是如果有一方休息,那么另一方就会超过中点与其相遇,‘多走的路程’所需的时间即为休息时间。 解答: 设DH为x,则HC=17-x,因为四边形EFGH的面积是正方形面积的一半,所以图形中四个三角形的面积和为正方形面积的一半。则有: 10×12÷2+7×8÷2+5x÷2+9(17-x)÷2=17×17÷2 x=10 相遇地点距离中点的路程:17-10=7(米) 红甲虫比蓝甲虫多走了:7×2=14(米) 因为爬行10米要30分钟,所以爬行14米要30÷10×14=42(分),所以蓝甲虫休息了42分钟。 答:略。 |
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