数学中有哪些经典的反直觉结论？

数学家希尔伯特曾提出“希尔伯特的旅店”问题。

希尔伯特有一个旅店，旅店里有无限多间房间。有一天所有房间都住满了人。然后又来了一名旅客。希尔伯特说：很抱歉，房间都住满了。旅客说：没关系。你可以让第一间房间的人住第二间房，第二间房间的人住第三间房，如此类推，我就可以住第一间房间了。也可以让第一间房间的人住第二间房，第二间房间的人住第四间房，以此类推，我也可以住第一间房间。

甚至，按照这种做法，无论再来多少客人，只要客人是有限个，这个住满的酒店都可以继续空出房间来给他们安排。

他的说法很反直觉，但是从数学角度上，他是正确的。

为了讨论这个问题，我们首先要问：全体正整数和全体正偶数谁多？

大部分人的直觉都是：整数多。因为整数包含奇数和偶数，所以整数多。

但是，正整数集合和正偶数集合都是无限多个元素。在数学上，无限多个元素的集合比较多少时要使用“势”的概念。也就是：如果两个集合可以建立一个一一对应的关系，那么这两个集合的元素个数就是一样多的。

所以，如果我们令x表示正整数，y表示正偶数，建立对应关系y=2x，那么正整数和正偶数之间就建立了一一对应的关系，所以正整数集合和正偶数集合是等势的，或者说全体正整数和全体正偶数一样多。

按照这种观点，我们可以继而可以证明全体正整数数和全体非负整数一样多：建立一一对应关系：y=x-1，x属于正整数，y属于非负整数。

所以，客人来到希尔伯特的酒店住宿，提出的两种方案都是合理的。第一种方案基于全体正整数（房间）和全体非负整数（客人）是一样多的，第二种方案是基于全体正偶数（房间）和全体正整数（客人）是一样多的。

我们不妨再提两个问题供大家思考：全体正数和全体实数是一样多的吗？全体有理数和全体实数是一样多的吗？