|
已知抛物线y=x²+bx-3(b是常数)，经过点A(-1,0) (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)P(m,t)为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点是P' ①当点P'落在该抛物线上时，求m的值； ②当点P'落在第二象限内，P'A²取得最小值时，求m的值. 解析：(1)压轴题的起点要求，求解析式和点坐标，考察点为待定系数法，将点A坐标代入即可求得b=-2，从而得到抛物线解析式为y=x²-2x-3，再将其化为顶点式为y=(x-1)²-4，可看出顶点坐标为(1,-4)； (2)看到“点在抛物线上”这类语句，首先将这个点坐标代入抛物线解析式中，我们可得m²-2m-3=t，同时点P的对称点P'(-m,-t) ①将点P'(-m,-t)也代入抛物线解析式中，得到第二个等式，m²+2m-3=-t，观察它与第一个等式，发现其中有两项互为相反数，于是将它们相加，可得2m²=6，解得m=±√3 ②根据条件点P'(-m,-t)在第二象限，可知m>0，t<> 注意到第(2)小题总条件中，我们曾经得到的第一个等式m²-2m-3=t，将它左边的-3移到右边，得到m²-2m=t+3，利用它可以将P'A²等式中的m²-2m整体替换掉，我们得到P'A²=t+4+t²，将它整理成顶点式，P'A²=(t+1/2)²+15/4，从而得知当t=-1/2时，取最小值。 最后将t=-1/2代入抛物线中求得m，注意前面求出来的m的符号。 这又是一道没有配图的压轴题，利用纯代数方法可以很顺利解决它，但涉及到的知识点却绝不仅仅是代数知识，至少关于原点对称，属于几何中的中心对称。 我们经常提到的解题“套路”中，本题用到了哪些，不妨一起整理一下： “点在抛物线上”，直接将点坐标代入，待定系数法； “动点在抛物线上”，将动点参数坐标代入抛物线，得到关于参数的等式，以备使用； “点在某个象限”，马上联想到其横纵坐标的符号， “取最小(大)值”，配方法，顶点式。 |
|
|
