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33820170428九年级数学专题复习 作品《杂谈 · “折叠”题》 （秦中 朱校华 原创） 一、折叠概述. 对于中考数学试题而言，一道“折叠”题既可以检测学生的“四基”，又能检测学生的动手操作能力，逻辑思维能力丰富的想象能力自然不必多说，所以命题者乐此不彼. 所谓“折叠”题，主要指的是“通过类似折纸模式将一个矩形或其它几何图形通过一定条件下的折叠，借助于数学理论想方设法最终能够得以解决的一类数学问题”. 折叠操作一般情况下就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180°，使其与原图中的另一部分图形重合或者部分重叠. 折叠的实质就是图形的一种轴对称变换. 换一句话说： “折”是一种过程； “叠”是一份结果. 折叠既然突出了轴对称的应用，那么解决问题时自然离不开轴对称之性质. 二、折叠属性. 凡是“折叠”题，均有如下三大共同属性： 折叠定具有可操作性. 折叠前后暗含全等性. 折叠一般拥有特殊性. 折叠既然离不开这三大属性，反过来在解决“折叠”题时，就要密切关注这三大属性，可以这么讲：没有这三大属性，解题必然无从下手.其中的“全等性”用得最多. 三、折叠源头. 初中数学教科书中，最早出现的折叠题源自“将一个正方体侧面展开”十一幅图，倒过来想不就是将十一个侧面展开图（平面图形）重新折叠构成正方体. 当我们学完轴对称之等腰三角形知识后，研究等腰三角形性质“等边对等角”与“三线合一”时，就开始使用“折叠”操作了：将一个等腰三角形沿着底边上的中线所在的直线折叠，不难发现折叠前后的两个三角形不仅是直角三角形，而且相互全等着. 刚好前些天复习完三角形的四条重要线段之后，我好奇地出了一道题： 如何将一个锐角△ABC纸片，用折叠法作出其： （1）角平分线AD； （2）高AE； （3）中线AF； （4）中位线MN. 要求：请简要写出折叠操作过程；并在给出的四副备用题图中画出相应有用的线（注意：AD、AE、AF、MN用实线，其余折痕用虚线，必要的重叠点有必要标清晰.） 当温习到矩形、菱形与正方形相关知识时，其中矩形的折叠就是重中之重之一！ 对于圆来说，折叠也有不少. 折叠题，一般以计算线段长度、图形面积较多，也有少许是证明来着. 折叠题，由于知识点与技能点比较富有，成为了中考题“香饽饽”题之一. 折叠题，更是学生数学素养拉开差距的佳题之一，必须攻克并不留任何遗憾. 事实上，折叠题当中最重要的是紧紧抓住“全等前后图形全等”“全等图形对应线段相等、对应线段相等”，在解决问题过程中，时刻明了其中暗藏的这条属性是“祖宗”. 四、折叠变式. 朱校华原创201204081号题： 现有一张矩形纸片ABCD，AB=12，BC=13，点E在边CD上，当沿着直线BE折叠△BCE得到△BFE，点F落在AD边上时，试求折痕BE的长？ 简析： 解题的关键是明确△BCE≌△BFE，从而BF=BC=13，于是AF=5，FD=8.先设出CE的长为x，则EF=x，DE=12-x.求出来x之后，在Rt△BCE中利用勾股定理不难求得出BE的长. 总结： 做完本题，觉得前面所说的皆真.估计也不杀瘾，请不妨认真解一解如下变式题. 变式一： 现有一张矩形纸片ABCD，点E在边CD上，当沿着直线BE折叠△BCE得到△BFE，点F落在AD边上时，（1）求证：△ABF∽△DFE；（2）若sin∠DFE=0.4，求tan∠BEC的值. 变式二： 现有一张矩形纸片ABCD，AB=6，BC=8，点E在边CD上，当沿着直线BE折叠△BCE得到△BFE，点F落在BD边上时，问：这种折叠能否做得到？若能，请求出折痕BE的长；若否，试说明理由. 变式三： 现有一张矩形纸片ABCD，AB=6，BC=8，点E在边AD上，当沿着直线BE折叠四边形BCDE得到四边形BFGE，点F落在BA边延长线上时，连CF、DG.（1）求出折痕BE的长；（2）求证：CF∥DG；（3）求五边形BCDGF的面积. 五、折叠样题. 【2016 · 新疆数学中考题 有小变动】在平行四边形ABCD中，AD=1，AB=2，∠ADC=60°.将平行四边形ABCD沿着过点A的直线m折叠，使点D落在AB边上的点F处，折痕交CD边于点E.（1）求证：四边形BCEF是菱形；（2）若点P是直线m上的一个动点，请计算PB+PF的最小值. 【2016 · 湖北十堰数学中考题 有小改动】将矩形纸片ABCD（AD＞AB）折叠，使点C恰好落在线段AD上，且折痕分别与边BC、AD相交于点E、F.设折叠后点C、D的对应点分别是点G、H. （1）判断四边形ECFG的形状，并证明您的结论； （2）若AB=3，BC=9，试确定线段CE的取值范围. 【2017 · 内蒙古赤峰数学中考题 有小变动】将菱形纸片ABCD折叠，使得点A恰好落在对角线交点O处，若折痕EF（点E、F分别为边AB、AD上）长为2倍根号3，则角C为多少度？能否求得出△OEF的面积，若能，请求出这个面积；若否，试说明理由.
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