高中数学 | 向量加减法的应用

一、用已知向量表示其他向量

例1、如下图，以向量为边作平行四边形OADB，C为对角线的交点，，试用a，b表示。

分析：注意M、N将AB和OD所分成的比例，以达到用a、b来表示的目的。

解析：∵

由，得 所以

 

二、证明向量等式

例2、如下图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，P为平面上任意一点，用向量证明。

分析：向量的三角形法则还可以推广到多个向量的求和，即多个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，也叫向量求和的多边形法则。

根据几何图形，可将利用向量加法的三角形法则转化到向量上，用这些向量将表示出来。

证明：，在平行四边形ABCD中，

上面四式相加化简得

 

三、求模的取值范围

例3、已知，求的取值范围。

分析：对于非零向量a、b，均有不等式成立，注意取等号的条件是a与b同向或反向。

解析：令A点与C点重合，由向量减法的几何意义知由，所以

故的取值范围是［3，15］。 

四、证明平面几何问题

例4、用向量法证明：在平行四边形ABCD的对角线BD的两方延长线上取两点E、F，使BE＝DF（如下图），则四边形AECF也是平行四边形。

分析：利用向量证明几何问题，就是运用向量的有关性质，通过四则运算达到证明的目的。本题通过证明两个向量相等，既能说明线段长度之间的关系，又能说明线段的位置关系（平行）。

欲证四边形AECF是平行四边形，只需证明其中一组对边平行且相等，由向量相等的定义，只要证明其中一组对边所对应的两个向量相等即可。

证明：易知由四边形ABCD为平行四边形，知又BE＝DF，且与同向，则。

于是，所以，即AE与FC平行且相等。

故四边形AECF是平行四边形。