冲击2018年中考数学，专题复习87：二次函数相关的综合题

定义：若某抛物线上有两点A、B关于原点对称，则称该抛物线为“完美抛物线”．已知二次函数y=ax2﹣2mx+c（a，m，c均为常数且ac≠0）是“完美抛物线”：

（1）试判断ac的符号；

（2）若c=﹣1，该二次函数图象与y轴交于点C，且S△ABC=1．

①求a的值；

②当该二次函数图象与端点为M（﹣1，1）、N（3，4）的线段有且只有一个交点时，求m的取值范围．

考点分析：

二次函数综合题．

题干分析：

（1）设A （p，q）．则B （﹣p，﹣q），把A、B坐标代入解析式可得方程组即可得到结论；

（2）由c=﹣1，得到p2=1/a，a＞0，且C（0，﹣1），求得关于p等式，①根据三角形的面积公式列方程即可得到结果；②由①可知：抛物线解析式为y=x2﹣2mx﹣1，根据M（﹣1，1）、N（3，4）．得到这些MN的解析式y=3x/4+7/4（﹣1≤x≤3），联立方程组得到x2﹣2mx﹣1=3x/4+7/4，故问题转化为：方程x2﹣（2m+3/4）x﹣11/4=0在﹣1≤x≤3内只有一个解，建立新的二次函数：y=x2﹣（2m+3/4）x﹣11/4，根据题意得到（Ⅰ）若﹣1≤x1＜3且x2＞3，（Ⅱ）若x1＜﹣1且﹣1＜x2≤3：列方程组即可得到结论．