武侠小说中的数学 ——古人是如何开平方的？

封面图为老顽童周伯通和瑛姑~

▍引子

在金庸的武侠小说当中，常常出现与中国古代数学有关的内容，比如在《射雕英雄传》之中就有这么一段情节：

黄蓉坐了片刻，精神稍复，见地下那些竹片都是长约四寸，阔约二分，知是计数用的算子。再看那些算子排成商、实、法、借算四行，暗点算子数目，知她正在计算五万五千二百二十五的平方根，这时“商”位上已记算到二百三十，但见那老妇拨弄算子，正待算那第三位数字。黄蓉脱口道：“五！二百三十五！”

那老妇吃了一惊，抬起头来，一双眸子精光闪闪，向黄蓉怒目而视，随即又低头拨弄算子。这一抬头，郭、黄二人见她容色清丽，不过四十左右年纪，想是思虑过度，是以鬓边早见华发。那女子搬弄了一会，果然算出是“五”，抬头又向黄蓉望了一眼，脸上惊讶的神色迅即消去，又见怒容，似乎是说：“原来是个小姑娘。你不过凑巧猜中，何足为奇？别在这里打扰我的正事。”顺手将“二百三十五”五字记在纸上，又计下一道算题。

83版射雕中正在低头算题的瑛姑

这段故事当中，郭靖与黄蓉被铁掌派追杀，郭、黄二人无意中闯到瑛姑的小屋中，正巧撞见瑛姑正在算这样一道开平方的问题。

那么小说当中，宋朝人用来计算平方根的方法是什么呢?我们今天就来介绍一下

▍增乘开方法

小说中所提到的这种计算平方根的方法叫做增乘开方法，是由我国古代数学家贾宪在十一世纪中叶所提出来的，其方法与意大利数学家鲁裴尼（P.Ruffini）和英国数学家霍纳（W.G.Horner）所提出来的高次方程数值解法相同，但比他们早了750年。

此处本该有个贾宪的照片，然而我没找到

那么增乘开方法是如何来计算一个数的平方根的呢？

▍举个例子

我们就以小说中瑛姑所计算的求55,225的平方根这个问题为例（为了便于理解我们就直接用阿拉伯数字来表示，就不用算筹啦）：

首先我们把55,225放入实这一行；

1）由于55,225是一个五位数，因此我们估算商应当是一个三位数，并且由于万位上的数是5，所以估计商的百位数是2（200的平方是40,000，而300的平方是90,000，所以商的百位数一定是2）

2）令借为1，法的值则为借乘商（1×2）

3）更新实，使之为原实减去商乘法（5-2×2=1），则新实为1

4）更新法为商乘借加到旧法上，（2+2×1=4）

5）将法后移一位，借后移两位

然后我们再次重复1）到5）的循环；

1）估算商的十位为3（3×4,000=12,000＜15,225）

2）更新法，为原法加十位商乘借（4,000+3×100=4,300）

3）更新实，使之为原实减去商乘法（15,225-4,300×3=2,325），则新实为2325

4）更新法为商乘借加到旧法上，（43+3×1=46）

5）将法后移一位，借后移两位

第二轮结束，第三轮开始，再一次重复这五个步骤，

1）估算商的个位为5；

2）更新法，为原法加个位商乘借（460+5×1=465）

3）更新实，使之为原实减去商乘法（2325-465×5=0）；

到这一步我们惊喜的发现，实的值为0了，也就是说我们最后解出来了55,225的平方根为235

我们可以再验证一下，计算235的平方

发现235的平方果然是55,225，也就是说我们的计算结果是正确的。

▍总结

总结一下，增乘开方法其实就是一共五个步骤：

1. 估算商；

2. 用商乘借加到法上；

3. 实减去商乘法；

4. 再用商乘借加到法上；

5. 法后移一位，借后移两位。

然后只要不断地循环上述步骤，直到实为0，此时的商就是我们所求的平方根的值啦~

虽然步骤比较抽象，但是对照着例子还是比较容易理解的~

▍参考资料

[1] 金庸. 射雕英雄传[M]. 北京: 生活·读书·新知三联书店, 1994.

[2] 梅荣照. 贾宪的增乘开方法——高次方程数值解的关键一步[J]. 自然科学史研究, 1989, (01): 1-8.

* 作者：道和，来源：道和老师教数学，本文系作者投稿。