【香樟推文1147】父母如何通过影响子女的偏好和对子女的人力资本投资来养老

图片来源：https://www.

推文信息

Becker, G.S., Murphy, K.M. and Spenkuch, J.L. (2016), 'The manipulation of children’s preferences, old-age support, and investment in children’s human capital.', Journal of Labor Economics, Vol. 34, No. 2, pp. S3-S30.

Becker在1974年的论文中将“Rotten Kid Theorem”(坏孩子定理或不孝子定理)引入众多社会经济等学者的视野之中，2014年，Becker与其他两位合作者一起在本文献中又再次提出“Rotten Parent Theorem”——如果孩子是利他主义的，即使自私的父母也会对他们的孩子进行最优化的人力资本投资，最后的结果是父母和孩子都会better off。

过去，子女赡养父母是传统的养老方式，为此，父母通常会留下一定的遗产给他们的子女，例如土地或其它资产，以弥补子女在这养老方面的开销。近现代，一些国家政府建立了社会安全养老福利体系，这使父母减少了对子女的养老依赖，但是在当下，这样的情况只限于比较富裕的国家，全世界仍然有约60%的人口无法获得政府提供的养老金，这些父母仍然需要在早年进行一些储蓄或依赖于他们的子女，以此度过老年生活。 在此背景下，作者展开了父母对孩子偏好施加影响、父母对孩子的人力资本投资和父母的养老这三者关系的分析。

父母在不对子女的偏好施加影响的情况下，父母什么时候会对子女

进行人力资本投资？

A. 主要假设

a. 假设一生中只有三个时期：童年、中年、老年。 童年时期，他们会从父母那里获得人力资本投资；中年时期，他们会通过工作获得收入，进行消费，对他们的孩子进行人力资本投资，从他们的父母那里获得遗产，为自己的养老进行储蓄；老年时期，他们会消费，留下遗产给他们的孩子。如图所示，

b. 中年父母的效用取决于他们中年和老年时期的消费，同时还取决于他们从子女那里获得的效用。用公式表示如下：

在这个式子中，I_p 和I_c各表示父母和子女所拥有的所有资源；C_m 和C_o表示父母在中年和老年事情的消费；β表示未来效用的折现因子；a表示子女对父母的利他主义程度；父母的目标就是最大化他们的效用V；u和U都被假设满足inada条件。

c. 当子女进入中年时期，他们开始工作并获得收入，这里假设，他们收入的唯一来源是中年时期的父母对他们的人力资本投资所形成的人力资本。公式表示为：

这里，E表示收入，它只取决于年轻时期从父母那里所获得的最终的人力资本投资；r表示的是一单位人力资本的使用价格；F表示人力资本的生产函数，它取决于父母花在他们身上的费用y和人力资本形成的其它影响因素X，如孩子的先天能力。

d. 其它假设还包括，此时，父母对子女的偏好不施加影响，同时，假设没有外在的冲击。

B. 预算约束

Lifetime预算约束为

它由父母中年时期的消费预算约束 和父母老年时期消费预算约束构成。在这里，k表示父母在中年时期进行的养老储蓄；b_p表示父母从他们的父母那里获得的遗产，并被假定b_p≥0；R_k表示由市场给定的储蓄利率。

C.效用最大化与一阶条件

最后的问题就变成了父母在lifetime预算约束(4)下通过选择C, y, k, b_c来最大其效用函数(1).

通过一阶条件求解与联立，可获得条件  (7)和条件 (8)。在(7)中，<> 非常大或者他们在老年时期消费的边际效用大于从他们的子女中获得的效用。(7)解释了为何收入高的家庭的父母更容易有遗产遗留给后代子女。式子(8)中> 意味着 R_y>R_k, b_c=0; = 意味着R_y=R_k, b_c>0。这里 且，表示对子女的人力资本投资费用每增加一单位所带来的工资的增加量。就是说，只有当其等于储蓄率的时候，父母才会留下遗产给他们的孩子。(8)解释了为何低收入家庭的子女人力资本投资相比高收入家庭是低的。

父母在什么情况下会对子女偏好施加影响？

父母对年轻的子女进行人力资本投资，当父母老的时候，他们期待中年子女可以对他们进行养老。可是，在没有有约束力的承诺的前提下，可能并不能保证子女对父母的养老行为。但是，父母可以在对子女进行人力资本投资的同时可以额外通过花费一定的费用z_c 来影响年轻子女的偏好，从而使子女以后对父母进行s_c的养老费用支持。这时，子女的效用函数为：(10)；在这里，s_c取决于利他主义程度a_p 和影响s_c 的其它因素W，并且(ds_c)/〖da〗_p >0；而a_p取决于z_c，且(da_p)/〖dz〗_c >0；所以有。因此有<0，>

这时，在给定父母的预算约束

和子女的效用函数(10)的情况下，父母通过选择C、y、z_c、b_c、k来最大化其效用(1)。对z_c一阶求导有

当z_c=0，>成立。也就是说，只要父母在影响子女的偏好所花费的费用每增加一个单位所带来的子女花在父母养老的增加量大于储蓄的利率 (R_Z>R_k)，或者说资本市场发展水平低的时候，父母就有意愿继续影响或者影响子女的偏好。这也解释了在历史上和现代的许多国家中，父母为何依赖他们的子女进行养老，因为通过花费额外的费用来改变子女的偏好，以使子女对父母进行养老要比父母通过储蓄进行养老是更有效率的。

对父母遗产b_c一阶求导，当b_c>0有 (12)，于是和z_c的一阶条件联立有，这里的>恒成立，也就是说当b_c>0时z_c=0，即如果父母能够为他们的子女留下遗产，那父母不会花费额外的费用去影响子女的偏好，以让子女给自己养老。之前提到，高收入家庭比低收入家庭的父母更有可能留下遗产给他们的子女，所以，低收入家庭的父母比高收入家庭的父母更有意愿去影响他们子女的偏好，从而让子女帮他们养老。

同时作者还给出抚养子女的花费分析式子：

这里v是抚养每个孩子的固定花费。作者认为，如果R_Z 比R_k大很多的话，抚养子女的最终总花费可能将会非常小，这可能会鼓励家庭去拥有更多的孩子。 也就是说，父母将会拥有更多的孩子，如果他们认为通过影响子女的偏好能够带来很高的子女养老回报。

父母对子女偏好的影响与父母对子女的人力资本投资

上文提及的式子(8)  表明，当父母通过影响子女的偏好诱导子女提供更多的养老支持时，他们自己在老年时期的消费边际效用相对于他们从子女消费获得的边际效用是更低的，也就是说等号的右侧减小。因为储蓄利率R_k是市场给定的，所以，R_y会变小，也就是说父母会对孩子进行更多的人力资本投资作为对子女的补偿。

作者同时提出” Rotten Parent Theorem”，该理论假设父母是自私的，子女利他主义的。作者通过设置模型证明了，自私的父母通过影响子女的偏好，让他们形成利他主义品质，最后会让自己和子女的效用同时得到提高，从而使双方变得更好。这里由于文章篇幅的限制，不再对此证明过程详细展开，感兴趣的读者可以查阅文献进行阅读。

结论

如果父母对子女的人力资本投资费用的边际工资大于市场储蓄利率，那么父母会继续对女进行人力资本投资，从而最大化自己的效用，直到两者相等。当父母在影响子女的偏好中所花费的费用每增加一个单位所带来的子女花在父母养老上的增加量大于储蓄的利率时，或者说资本市场发展水平低的时候，父母就有意愿继续影响子女的偏好。同时，作者发现，自私的父母通过影响子女的偏好，使子女成为利他主义的人，能够让父母和子女同时变得更好。

Abstract

We consider the link between parents’ influence over the preferences of children, parental investments in children’s human capital, and children’s support of elderly parents. It may pay for parents to spend resources to “manipulate” children’s preferences in order to induce them to support their parents in old age. Since parents invest more in children when they expect greater support, manipulation of child preferences may end up helping children and parents. A new result, which we call the “Rotten Parent Theorem”, demonstrates that if children are altruistic, then even selfish parents will make the optimal investment in their children’s human capital.

声明

推文仅代表文章原作者观点及推文作者的评论观点，并不代表香樟经济学术圈公众号平台观点。

宜打赏

亲爱的读者，如果您从阅读本文中得到启发，或者受益，请您为本文打赏，以感谢推文者的辛苦工作，鼓励她（他）下一期提供更精彩的推文（香樟打赏直接给每期的推文作者）。

香樟经济学术圈征稿

香樟致力于提供学术研究公共品，对香樟最好的回馈就是向平台赐稿。联系邮箱[e-mail]

香樟经济学术圈

本期小编：冯显骏