基于变异理论的初中数学变式教学实践与思考

吴晶君（上海市华东师大一附中实验中学）

刘海涛

摘要：变异理论是世界著名教育学论专家、瑞典哥德堡大学教授马飞龙提出来的。在变异理论指导下进行初中数学变式教学，要突出体现问题本质和解决问题的基本规律。在教学实践中，对题目可进行递进变异、讨论变异、背景变异、问题变异或图形变异。

关键词：递进变异；讨论变异；背景变异；问题变异；图形变异

变异理论是世界著名教育学论专家，瑞典哥德堡大学教授马飞龙提出的。该理论超越了传统迁移理论对不同情境间的共同要素的重视，注重对所学内容的关键属性进行区分，从而从具体事例中分离出普遍原理。变异理论的基本观点：一是如果仅在一个实例中，一般和具体完全纠结在一起，前者内隐，后者外显，因此很难对二者进行区分和分离。如果有两个反映同一原理且彼此之间有足够差异的实例，那么二者共通之处（原理）就有可能同二者不同之处（实例）区分开。学习者接触的实例越多，他们就越有可能排除其他差异特征，进而把原理作为基本属性或唯一的共性识别出来。二是没有共同性当然就不会有迁移，但是没有差异性也不会有迁移，二者同样重要。我们之所以能认识事物的特征，是因为这些事物有些方面相同而有些方面不同。因此，迁移在其本质上，正是差异性和共同性一起作用的结果。

作为一名数学教师，都有这样的体验，一道题目，教师讲过，但学生还是不能独立完成原题或类型题的解答，究其原因是学生没有掌握解此类问题的一般规律。因而在数学教学中，对典型的例题，需要学生掌握解题规律。依据变异理论，仅从一道题目中让学生掌握解题规律是不现实的，学生不能从中发现并掌握规律。因此，在教学中要对例题进行适当的变式，这样学生可以从中发现相同点与不同点，掌握一般的解题规律，有利于迁移发生，那么如何对典型例题进行变式，笔者依据变异理论，对例题的变式教学进行了实践与思考。

一、递进变异

递进变异是指题目由特殊到一般的变异，而解题需要的基础知识保持不变。一是题目的条件由特殊到一般，由简单到复杂变异，这样可形成递进式变式题组。递进式变式题组是指在课堂教学中，为了达到某一教学目的，根据学生的认知规律，合理、有效地设计一组数学问题，且这组数学问题又有一定的内在逻辑联系，即前一个问题是后一个问题的特殊情况，后一个问题是前一个问题的一般的、情况，这样由特殊到一般的题目组合称为递进式变式题组。这种递进式变式题组，层层递进，由浅入深，由简到繁，循序渐进，螺旋式上升，有利于学生对问题本质的深刻理解，进而掌握解题规律、突破教学难点。二是在解题的一般规律不变的情况下，通过变化非本质属性，有利于学生从中分离出一般的规律。三是有利于不同层次的学生。由于问题由简单到复杂，可使不同层次的学生顺着台阶一步步的往上爬，并从中掌握一般规律。例如，在“分式”的教学中，设计如下作业。

案例1：

以上三道题，分式的分子由x-3，变式为

，分子为0的条件不断增加。分母由2x-1变式为x-3，使得出现分子为0时，分母为0的情况。三道题目各不相同，均有差异，但其解题的本质是分式值为0的条件，分子为0而分母不为0，通过这样有层次的三道题目，既可以使学生发现解题的本质，又可使不同的学生找到自己的解题切入点，从而有利于不同层次的学生总结出解题的规律，形成对此类问题完整的数学认知结构。

二、讨论变异

讨论变异是指题目的变异向着需要分类讨论的方向变异。一是数学概念是思维的细胞，是思维的基本单位。数学概念是数学教学的核心，是构成判断、推理的要素，概念明确是思维合乎逻辑的基本要求。因而对概念的理解直接影响学生的数学思维能力。二是数学概念本身是陈述性知识，但如果运用概念解题，就属于程序性知识，在解题教学中，学生才能理解概念的本质。三是通过分类讨论使学生理解概念的本质。例如，对一元一次方程概念的理解，设计如下作业。

案例2：

三、背景变异

背景变异是指问题的背景变异，而解决问题的方法不变。同一类问题，当背景发生变化时，其解题的方法不变.一是有利于学生从中发现解题的一般规律. 二是有利于提高学生的概括能力。学生要从不同的背景题目中，总结、概括出一般的规律，需要一定的思维操作. 三是有利于学生扩大类比迁移的范围。例如，在找规律问题中，运用背景变异设计如下作业。

案例3：

（1）如图1，观察图形，并填写表1.

问题变异是指问题不同，但解决问题所依据的数学方法是相同的。数学来源于生活，生活中很多问题均可转化为方程问题。著名数学家笛卡儿曾设想一个解决所有问题的通用方法，首先将任何问题转化为数学问题，然后将数学问题转化为代数问题，最后将任何代数问题化归为方程问题。要使学生掌握一类问题的解决方法，通过所要解决具体问题的不同，以使学生从中概括出解决问题的基本数学方法. 既有利于提高学生的概括能力，又可使学生形成解决某类问题的问题域. 同时，由于问题的不断变异，又可使学生明确与其他类问题的关系，这样可使学生形成的数学认知结构科学合理，也就是形成CPFS结构. 我国学者研究表明，CPFS结构是一个科学合理的数学认知结构，可提高学生的数学认知能力。例如，在二元一次方程组应用的教学中，设计如下变异作业。

案例4：

(1)一家眼镜厂，有28个工人加工镜架和镜片，每人每天可加工镜架69个或镜片102片，为了使每天加工的镜架和镜片成套，则将如何分配工作？

设加工镜架的工人为x人，加工镜架的工人为y人，

则等量关系是：

①_________+__________=28；

②__________：_________=__________：__________.

根据题意列二元一次方程组为______________________________________.

（2）学生课桌装配车间共有木工9人，每个木工一天能装配双人课桌4张或单人椅10把，怎样分配工作能使一天装配的课桌椅配套？

设x个木工装配双人课桌，y个工人装配单人椅，

则根据题意列二元一次方程组为_______________________________

五、图形变异

图形变异是指图形是不同的，但从图形中分离出来的基本图形是相同的。一是数学是研究现实世界空间形式与数量关系的科学. 因为空间形式的复杂性，人类不可能把所有图形的性质都认识清楚。但人们发现，很多复杂的图形是由基本图形组合而成，把复杂图形的问题转化为基本图形的问题来解决是人类智慧的结晶。因此，基本图形的性质，以及如何从复杂图形中分离出基本图形是要求学生必须进行重点表征的。初中几何知识中，有很多基本图形，如相似形中的A字型、8字型、一线三等角、子母三角形等，这些基本图形的识别与性质的灵活运用是学生解决复杂问题的思维载体。通过图形的变异，但组成图形的基本图形不变，有利于提高学生从复杂图形中分离出基本图形的能力。有利于提高学生运用基本图形解决问题的能力。例如在“相似三角形的判定“的教学中有一类特殊的一线三等角的问题，设计如下变异作业。

六、几点思考

第一，基于变异理论进行变式教学，题目的变异要围绕不变的本质而展开。变异的目的是要学生通过几个实例发现并总结、归纳出解决问题的一般性原理（规律）. 因此，在进行变异时，首先要明确问题的本质，然后围绕问题的本质不变，变化非本质属性，以突出问题的本质属性，使此类问题的一般性原理凸出出来。

第二，重复有利于提高学生数学知识的记忆强度。变异是在本质不变的情况下展开的，也就是说学生解答此类问题运用的思想方法是相同的. 因此，学生要重复使用相同的原理解答题目，是一种重复的思维活动。认知心理学的研究表明，重复可以增强学生对知识的记忆，能够使长时记忆中的记忆强度增加，即记忆的痕迹大，这样在学生解答其他问题时，便于从长时记忆中提取需要迁移的信息，从而提高分析问题和解决问题的能力。

第三，变异有利于不同层次学生发现并总结掌握问题的一般原理。学生之间的差异是客观存在的，不同的学生其解决问题的能力，以及归纳、概括的能力是不同的. 因此，在进行题目变异时，要使题目有一定的梯度，也就是要递进式变异，由简单到复杂，从而使不同层次的学生都能够从中分析并发现一般性的原理。

参考文献：

[1]刘海涛.优化递进式变式题组应用的几点思考[J].中小学数学（初中版），2012（３）：1-2.

[2]刘海涛.利用平面几何教学提高学生思维层次的探索[J].教学月刊（中学版），2014（12）11-14.

[3]刘海涛.数学教学中培养学生观察能力的几点认识[J].中国数学教育（初中版），2013（4）：13-15.