 上个星期听同事上的一节区视导课，课堂的开始，她给学生回顾相似三角形的常考模型：“正A型，斜A型，子母型，双垂图......” 这让我想起了一个一直以来感到疑惑的问题：我们为什么要总结这些常考相似模型？ 请教了身边一同听课的同事，得到的说法是，在做几何题时，如果图示中超过三个三角形，学生常常无法一眼就看出谁和谁相似，更不用说证明了。有了常考相似模型，学生遇到这类问题就可以直接套用了。 真的是这样吗？还是先搞清楚这些模型的本质好了。 所谓数学模型，就是根据特定的研究目的，采用形式化的数学语言，去抽象和概括地表征所研究对象的主要特征、关系所形成的一种数学结构。 广义上看，数学模型包括数学中的各种概念、公式和理论，因为它们都是由现实世界的原型抽象出来的。比如垂直，描述的是两条直线成直角的空间关系；又比如勾股定理，描述的是直角三角形的三边之间的数量关系，等等。从这意义上讲，数学也可以说是一门关于数学模型的科学。 狭义上看，数学模型是针对特定现实问题或具体实物对象进行数学抽象所得到的数学结构。比如看着冰箱画出一个长方体，这个长方体就是一个数学模型；又比如看着应用题列出相应的方程，这个方程也是一个数学模型。 对于相似三角形的判断问题，课本是有提供了模型的，而且还是两个。 第一个是相似图形的本质，即“形状相同大小不同的两个图形”。 许多时候，两个三角形长得像不像，其实一眼就能看出来。抓住了本质，找出有相似可能的三角形并不难。很多学生学到最后，只是记住所谓的常考模型，反而把本质给忘了。 第二个是相似三角形的三条判定定理，分别是两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等、以及三边对应成比例。 仔细琢磨这些常考相似模型，你会发现，其实它们几乎都是“两角对应相等”的推论，只不过它们指向的情境要更为具体而已。 那它们能不能让学生更快发现图中的相似三角形呢？我是保留意见的。 如果题目指明哪两个三角形相似，那就不用找了。 如果题目没说，但是图形简单，里头没几个三角形，要找也不难。 如果题目没说，图形比较复杂，那除了常考模型，还有别的选择吗？当然有。比如题目给出一个直角三角形及其斜边上的高，如果知道双垂图，你可以很快意识到这里有相似三角形；如果不知道，你也可以根据“形状相同”这个本质来直观判断，其实也慢不了多少。至于判断后的证明，这两者选择都是一样的。 很多时候，学生最大的困难，不是从复杂的图中找出相似三角形，而是在题目没说的情况下，能想到用相似三角形这件工具。 那么，我们应该如何看待这些常考相似模型呢？ 如果学生学有余力，掌握一下也不是什么坏事。毕竟多学一个模型，就相当于手中多一件工具，指不定什么时候能派上大用场，技多不压身嘛！ 不过，如果学生基础有限，我还是建议把有限的时间和精力，花在理解相似图形的本质和巩固相似判定定理上。 为什么呢？原因有二： 第一，一个模型对学生来说就是一个知识点，要想达到熟练掌握，离不开一定程度的刻意练习，否则仅仅是知道的话，见到题目还是想不起来，更别说用了。 第二，这些模型的适用范围，要比相似的本质和判定定理更狭窄，这意味着要想适应问题的变化，就得靠增加模型的数量，这样一来，需要投入的时间和精力就更多，反而容易得不偿失。 像我的这个同事，她教的是快班，总结一下也无妨：我教的是普通班，考虑一下，还是不总结的好。 |
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