高一下学期小班------向量数乘运算及几何意义

向量数乘运算及几何意义

1．平面向量基本定理

如果e₁，e₂是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ₁，λ₂，使a＝λ₁e₁＋λ₂e₂，其中不共线的向量e₁，e₂叫表示这一平面内所有向量的一组基底．

2．平面向量坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模

设a＝(x₁，y₁)，b＝(x₂，y₂)，则

a＋b＝(x₁＋x₂，y₁＋y₂)，a－b＝(x₁－x₂，y₁－y₂)，λa＝(λx₁，λy₁)，|a|＝.

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

②设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则＝(x₂－x₁，y₂－y₁)，||＝.

3．平面向量共线的坐标表示

设a＝(x₁，y₁)，b＝(x₂，y₂)，其中b≠0，当且仅当x₁y₂－x₂y₁＝0时，向量a，b共线．

1.如图所示，在△ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.

                             

2.如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若＝x＋y，则x＝___，y＝____.

 

3．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C(x，y)满足＝α＋β，其中α，β∈R，且α＋β＝1，则x，y满足的关系式为(　　)

A．3x＋2y－11＝0  B．(x－1)²＋(y－1)²＝5  C．2x－y＝0  D．x＋2y－5＝0

4.已知A(－3,0)，B(0，)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，且∠AOC＝60°，设＝λ＋，则实数λ等于(　　）             A.     B.     C.     D．3

5.如图所示，在△OAB中，＝，＝，AD与BC交于点M，设＝a，＝b，以a、b为基底表示.

6.如图，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ(λ、μ∈R)，则λ＋μ的值为________．

 

                                                   

8.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．(－2，－4)           B．(－3，－5)     C．(3,5)         D．(2,4)

9.已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，＝3，＝2，试求点M，N和的坐标10.已知点A(1，－2)，若向量与a＝(2,3)同向，||＝2，则点B的坐标为________．

11.已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，是否存在实数k，使得ka＋b与a－3b共线，且方向相反？

12.已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝(　　)．

A.                    B.          C.                  D.

13.已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)，若(a－c)∥b，则k＝________.

14.．已知向量a＝(6，－4)，b＝(0,2)，＝c＝a＋λb，若C点在函数y＝sin x的图象上，则实数λ＝________.

15．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1，2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.

16．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动，若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是______．

17.已知平面内三个向量：a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．

(1)求满足a＝mb＋nc的实数m、n；

(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.

18.如图，在边长为1的正△ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，若＝m，＝n，m，n∈(0,1)．设EF的中点为M，BC的中点为N.

(1)若A，M，N三点共线，求证：m＝n；

(2)若m＋n＝1，求||的最小值