高中数学：平面向量的数量积求法

一、定义法

例1、如下图，在四边形ABCD中，，，则的值为（    ）

A. 2

B. 

C. 4 

D. 

解：由

解得

且BD⊥DC，所以AB∥DC。

延长AB到E点，使BE＝DC，连CE，则CEDB。

所以CE⊥AE，知△AEC是等腰直角三角形，∠EAC＝45°。

所以，应选C。

本题条件较多，看似眼花缭乱，无从下手，当我们通过方程求出、，并将平移至后，可知 ∠CAE＝45°，运用定义求也就水到渠成了。

 

二、投影法

例2、如下图所示，点P为△ABC的外心，且，则等于（    ）。

A. 2

B. 4

C. 6

D. 8

  解：过点P作PE⊥AB，PF⊥AC，则垂足E、F分别为AB、AC的中点。因为在上的投影分别为，根据两个向量数量积的几何意义知故选C。

两个向量的数量积等于其中一个向量的模乘以另一个向量在这个向量方向上的投影。若容易找到一个向量在另一个向量方向上的投影，运用定义求数量积就会使解题过程简洁、清新。

 

三、坐标法

例3、设O为△ABC的内切圆圆心，且AB＝5，BC＝4，CA＝3，下列结论正确的是（    ）。

A. 

B. 

C. 

D. 

解：由题意知△ABC为直角三角形，且∠C＝90°。以C为原点，CA所在直线为x轴建立坐标系，如下图，则A（3，0）、B（0，4）、O（1，1）。于是  所以。应选A。

由三角形三边的数量关系得到直角三角形，于是建立直角坐标系，求出之间的数量积，使它们的大小关系跃然纸上。

四、转化法

例4、如下图，直角三角形ABC中，∠C＝90°，，又点M、N满足则__________。

解：由题意知 所以  

本题中有关的模及夹角均未知，但通过向量的有关知识的转化，使问题得到解决。