初中数学：等腰三角形常见的几种辅助线

等腰三角形有4种常见的辅助线：

1. 利用等腰三角形“三线合一”的性质，作底边上的中线或者高；
2. 作一腰的平行线，出小等腰，达到转移边、转移角的目的；
3. 以底边为一边作等边三角形，连接顶点出30º角；
4. 利用旋转作辅助线，达到转化之目的.
5. 下面分别列举4道典例进一步说明：

【典例1】

如下图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，M为BC边的中点，若MN⊥AC于点N，则MN=__________．

解析：如下图，连接AM，由等腰三角形“三线合一”得AM⊥BC，由勾股定理得AM=4.在Rt△AMC中利用面积相等法——CM×AM=AC×MN，即可求得MN=12/5 .

【典例2】

如下图所示，在△ABC中，AB=AC，点F在AB上，点E在AC的延长线上，BF=CE，连接EF交BC于D,求证：D为EF中点.

解析：过点F作FG∥AE交BC于点G，如下图.

易得∠1=∠4=∠B，∴ BF=CE=FG.又∵FG∥AE，∴∠3=∠E，∠2=∠5，∴△FGD≌△ECD，∴FD=ED，即D为EF中点.

【典例3】

已知：如下图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80º，D为△ABC内一点，∠DBC=10º，∠DCB=30º.求∠DAB的度数.

解析：以BC为一边向上作等边三角形A＇BC，连接A＇A，如下图所示.

∵ A＇B=A＇C，AB=AC，A＇A为公共边，∴ △A＇BA≌△A＇CA（SSS）， ∴ ∠BA＇A=CA＇A=30º.

∵ ∠A＇BA=∠A＇BC-∠ABC=60º-50º=10º，∴∠A＇BA=∠DBC. ∵∠BAC=80º， ∴∠A＇AB=∠A＇AC=140º，

又A＇B=BC，∴ △A＇BA≌△CBD（AAS），∴ AB=DB，即△BAD是等腰三角形. 又∵∠ABD=40º，∴∠DAB=∠BDA=70º.

【典例4】

如下图，在Rt△ABC中，∠BAC=90º，AB=AC，D为BC边上任意一点.求证：2AD^2=BD^2+CD^2.

解析：要证2AD^2=BD^2+CD^2，即证（√2AD）^2=BD^2+CD^2，因此可考虑将√2AD、BD、CD转移到同一个直角三角形中.可以这样做：将△ABD以点A为中心逆时针旋转90º，连接DE，如下图所示.

则△ABD≌△ACE，易证△ADE为等腰直角三角形，∴BD=CE，∠B=∠ACE，∴∠DCE=∠BCA+∠ACE=90º，在Rt△BEC中，DE^2=DC^2+EC ^2 ， 又∵ DE=√2AD，∴（√2AD）^2=BD^2+CD^2，即2AD^2=BD^2+CD^2.

反思：“等线段共端点”是构成旋转全等的前提条件，而等腰三角形先天就具备了这一条件，因此，通过旋转作辅助线也是等腰三角形常见的一种方法.

注意：这里介绍的只是近年考试中最常见的4种情况，等腰三角形的辅助线不止这些，还有诸如倍长一腰构造直角三角形等，不再一一赘述.