高二预科-----1.31柱体、椎体、台体的表面积与体积

1.3.1  柱体、锥体、台体的表面积与体积

一．柱体、锥体、台体的表面积

在初中，我们已经学习了正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图（图1），你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗？

          

正方体及其展开图(1)                      长方体及其展开图(2)

一般的，我们可以把多面体展成平面图形，利用平面图形求面积的方法求多面体的表面积。

1.圆柱：侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高（母线）， S=2，S=2，其中为圆柱底面半径，为母线长。

2.圆锥：侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线，弧长等于圆锥底面周长，侧面展开图扇形中心角为，S=， S=，其

中为圆锥底面半径，为母线长。

3.圆台：侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，侧面展开图扇环中心角为，S=，S=.

圆柱，圆锥，圆台三者的表面积公式之间有什么关系？

S_圆柱表=2πr(r+l)S_圆台表=π(r₁l+r₂l+r₁²+r₂²)S_圆锥表=πr(r+l).

4.球的表面积

又∵，且

∴可得，

又∵，∴，

∴即为球的表面积公式

例1．已知圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等。若圆柱的底面半径为，圆柱侧面积为S，求圆锥的侧面积。

 

 

例2.若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为（  ）

 

 

 

 

A．                  B．                  C．          D．

二．柱体，锥体，台体的体积

问题1：①回顾长方体、正方体和圆柱的体积公式，你能将它们统一成一种形式吗？并依次类比出柱体的体积公式？

    ②比较柱体、锥体、台体的体积公式：

V_柱体=Sh(S为底面积，h为柱体的高)；

V_锥体=(S为底面积，h为锥体的高)；

V_台体=h(S′,S分别为上、下底面积，h为台体的高).

你能从它们的体积公式出发，猜想出一般柱体的体积公式吗？

问题2：通过多媒体展示，请学生猜测等底，等高的三棱柱与三棱锥的体积之间的关系

 

 

问题3：推广到一般的棱锥和圆锥，你能猜想出锥体的体积公式吗？

问题4：根据棱台和圆台的定义，如何计算台体的体积？

问题5：圆柱，圆锥，圆台三者的体积公式之间有什么关系？

球的体积

可先求半径为的半球的体积.为此，采用倒水做实验的方法，直观得出球的体积公式. 取三个形状不同的容器，其中一个是半球形的，一个是圆柱形的，一个是圆锥形的，它们的高和底面圆的半径长都是.先在半球和圆锥容器里灌满水，然后倒入圆柱形容器里，我们可以发现，这些水恰好把圆柱形容器灌满.这个实验告诉我们，半球的体积等于与它等底、等高的圆柱与圆锥的体积的差，就是：

所以，

1.两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那么圆锥被分成的三部分的体积的比是（    ）

A.1∶2∶3            B.1∶7∶19             C.3∶4∶5            D.1∶9∶27

2.三棱锥V—ABC的中截面是△A₁B₁C₁，则三棱锥V—A₁B₁C₁与三棱锥A—A₁BC的体积之比是（    ）

A.1∶2                B.1∶4                 C.1∶6                D.1∶8

3.如果球的体积是36cm³,那么它的半径是        .3

4.若两个球的体积之比为8：27，那么两个球的表面积之比为（ C  ）

（A）8：27     （B）2：3       （C）4：9    （D）2：9

5.已知三棱锥O—ABC中，OA、OB、OC两两垂直，OC=1,OA=x，OB=y，且x+y=4，则三棱锥体积的最大值是___________.

6.有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为,,().用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，则的取值范围是___________.

7.如图7，一个圆台形花盆盆口直径为20 cm，盆底直径为15 cm，底部渗水圆孔直径为1.5 cm，盆壁长为15 cm.为了美化花盆的外观，需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少毫升油漆？（π取3.14，结果精确到1毫升，可用计算器）