高中数学： 空间几何体的表面积和体积

一、空间几何体的表面积

问题1：有一只蚂蚁从圆柱的下底面圆周上一点A出发，沿着圆柱侧面爬行一周，到达上底面圆周上一点B（线段AB是圆柱的一条母线），问蚂蚁爬行的最短路线是多长？

平面展开图：沿着多面体的某些棱将它们展开成平面图形，这个平面图形叫做该几何体的平面展开图。

（一）棱柱、棱锥、棱台的侧面积

1、直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱。其侧面展开图是一个矩形。

正棱柱：底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱。

◆S_直棱柱侧＝ch其中c为棱柱的底面周长，h直棱柱的高。 

2、正棱锥

定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

性质：

（1）正棱锥的侧棱长相等。

（2）侧棱和底面所成的角相等。

棱锥的侧面展开图是由各个侧面组成的。

◆S_正棱锥侧＝ch´（其中c为棱锥底面周长，h’为侧面等腰三角形底边上的高——斜高）

3、正棱台

定义：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面之间的部分叫做正棱台。

侧面展开图是由各个侧面组成的。

S_正棱台侧＝　（c ＋ c’）h’

（其中c，c’为棱台上下底面的周长，h’为各个等腰梯形的高，即棱台的斜高）。

（二）、圆柱、圆锥、圆台的侧面积

把圆柱、圆锥、圆台的侧面沿着它们的一条母线剪开后展在平面上，展开图的面积就是它们的侧面积。

1、圆柱的侧面积

◆如果圆柱底面半径是r，周长是c，侧面母线长是l，那么它的侧面积是

2、圆锥的侧面积

◆如果圆锥底面半径是r，周长是c，侧面母线长是l，那么它的侧面积是

3、圆台的侧面积

◆如果圆台的上、下面半径是周长分别是侧面母线长是，那么它的侧面积是

 

二、柱锥台的体积公式

长方体的体积公式是什么？如：某长方体的长宽高分别是7cm,5cm，4cm，其体积为多少，即为多少个正方体？

1、祖暅原理

两等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等。

2、柱体的体积公式

3、锥体的体积公式

4、台体的体积计算公式

◆柱体，锥体，台体之间的关系：

5、球体的体积公式与表面积公式

（1）利用祖暅原理可得

（2）利用极限的思想推导出球的表面积公式：S_球面＝4πR²

 

典型例题

例1. 有一根长为5 cm，底面半径为1 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少厘米？（精确到0.1 cm）

解：由题意知：BC＝5 cm，AB＝8，点A与点C就是铁丝的起止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度。AC＝

 

例2. 如图是一个奖杯的三视图，（单位：cm）试计算这个奖杯的体积（精确到0.01cm³）。

解：V_正四棱台＝

V_长方体＝6＝864

V_球 ＝

V＝ V_正四棱台 ＋ V_长方体＋ V_球

 

例3. 一个圆柱形的锅炉，底面直径d＝1m，高h＝2.3m。求锅炉的表面积（保留2个有效数字）。

    解：底面半径r＝ S_侧面积＝ cl＝2＝ ＝2.3           

        S_表面积 ＝ S_侧面积＋ S_底面积＝2.3 ＋ 8.7          

 

例4. 一个正三棱台的上下底面边长分别为3cm和6cm，高是cm，求三棱台的侧面积。

 

解：如图。连接AO并延长交BC于D，连结，并延长交，过作EAD于E 

DE＝DO－＝，＝ 

S_正三棱台  

▍ 来源：基于课本内容与网络信息整合