关于特殊三角形的反复构造形问题

知之者不如好之者

好之者不如乐之者

导语：

      本文作者系西北工业大学附属中学的李亦瑄同学，他分享的主题是《关于特殊三角形的反复构造形问题》！欢迎大家指导与交流，同时邀请广大学子踊跃投稿！

 

 在初中几何中有一类十分有趣但是却以难度大、变化多著称的问题——反复构造形问题，而反复构造又大多以正三角形、等腰直角三角形为基础，在进入讨论前，先介绍一个有利的工具：旋转性相似（全等）。

由此可以结合题目衍生出更多的结论，而本模型的全等模式请读者自行想象。

例1：在正三角形ABC中，D为线段AB上一点，且△CDE为正三角形，求点E的轨迹。

 

无需多言，只需证明两阴影部分三角形全等即可，从而得知∠CBE=60°，再通过确定D的两极限点得到E的范围即可，换句话说，若D在直线AB上，则轨迹即为BE所在的直线，同样，我们也可以在这个题目中得出：C、D、B、E四点共圆，S四边形CDBE=S△CAB=√3/4AB²（定值）。

通过这个例题，最主要想要告诉读者的是：轨迹的传导性，即如果在构型中求从动点的轨迹，不妨先参考主动点的运动轨迹，在今后的题海生涯中会更加验证这一点。ᖗ乛◡乛ᖘ

由上例进行推广：D为正三角形ABC内一定点，E为AC上一动点（EF过点D），分别以EF、BG、AH、GI为边如图构造正三角形，

有以下结论，读者可自行证明或思考：

①G、I、H、J的轨迹皆为线段；      

②轨迹（G、H）与轨迹（I）等长且两轨迹可构成等腰梯形；

③轨迹（H）、轨迹（J）以点C为中心构成位似且k=1/2

④GI的中点轨迹为直线段

为了让读者对轨迹的传导性有更加深刻的认识，特在此补充例2。

 

例2：如图，D为半圆AB上一动点，以DB为边构造正三角形DBE，再以AE为边构造正三角形，寻求点E、F的轨迹。

由上述结论不难看出轨迹为两个等大的半圆，但是需要重点说明的是：构造出相似便意味着两个对应点的运动形式相同（定性），而构造出全等就意味着运动相同（定量）

 

辅助线及构造如下图：

若转变出题思路，可以得到至少如如下两问：

①若AB=a，求CE（CF）的最大值；

②在运动过程中，DF是否为定值？若是，给出DF的值；若不是，请说明理由。（AB=a）

相信读过上两问极其推广的读者一定对轨迹的传导性有了更深刻的认识，但同时不要忘记轨迹的构造不止是构造相似，如定角想圆，距离相等联系平行线等。

 

end