勾股定理是八年级数学的重点,也是期末考试的必考点,本文就例题详细讲解合理添加辅助线、运用勾股定理解决三角形动点最值问题的解题思路,希望能给大家的期末复习备考提供帮助。 例题如图,正三角形ABC的边长为2,M是AB边上的中点,P是BC边上任意一点,PA+PM的最大值和最小值分别记作S和T,求S-T的值. 辅助线:以BC为边作∠PBN=60°,使得BN=BM,连接PN,过N作ND⊥AB,交AB的延长线于点D。 根据全等三角形的判定定理和题目中的条件:两组边及其夹角分别相等的三角形为全等三角形,BN=BM,∠PBN=∠PBM,PB=PB,则△PBN≌△PBM。 根据全等三角形的性质和结论:全等三角形的对应边相等,△PBN≌△PBM,则PN=PM。 根据结论:PN=PM,则PA+PM=PA+ PN。 (1)当P、A、N在同一条直线上时,PA+ PN取到最小值T,T=AN 根据题目中的条件:正三角形ABC的边长为2,M是AB边上的中点,则BM=AB/2=1。 根据结论:BN=BM,BM=1,则BN=1。 根据正三角形的性质和题目中的条件:正三角形的每个角为60°,△ABC为正三角形,则∠ABC=60°。 根据题目中的条件和结论:∠DBN+∠ABC+∠PBN=180°,∠PBN=60°,∠ABC=60°,则∠DBN=60°。 根据题目中的条件:ND⊥AB,则∠NDB=90°。 根据题目中条件和结论:∠NDB+∠DBN+∠BND=180°,∠DBN=60°,∠NDB=90°,则∠BND=30°。 根据含30度角直角三角形的性质和结论:在直角三角形中,30度角所对的直角边等于斜边的一半,∠NDB=90°,∠BND=30°,BN=1,则BD=BN/2=1/2。 根据勾股定理和结论:BN=BD+ND,BD=1/2, BN=1,则ND=√3/2。 根据题目中的条件和结论:AB=2,BD=1/2,AD= AB+ BD,则AD=5/2。 根据勾股定理和结论:AN=AD+ND,AD=5/2,ND=√3/2,AN=√7。 所以,PA+ PN的最小值为√7。 (2)当P点与C点重合时,PA+ PN取到最大值S,S=AC+CN 取BC的中点E,连接NE 根据题目中的条件:E为BC的中点,BC=2,则BE=BC/2=1。 根据结论:BE=1,BN=1,则△EBN为等腰三角形。 根据等边三角形的判定定理和结论:一个角为60°的等腰三角形为等边三角形,△EBN为等腰三角形,∠PBN=60°,则△EBN为等边三角形。 根据等边三角形的性质和结论:等边三角形的三边相等,△EBN为等边三角形,则EN=BE。 根据结论: EN=BE,BE=BC/2,则EN= BC/2。 根据直角三角形的判定和结论:一个三角形,如果这个三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形,EN= BC/2,则△PBN为直角三角形,即∠PNB=90°。 根据勾股定理和结论:PB=BN+PN,PB=2,BN=1,则PN=√3。 根据结论:AP=2,PN=√3,则PA+ PN=2+√3。 所以, PA+ PN的最小值为2+√3。 根据结论:T=√7,S=2+√3,则S-T=4√3。 结语运用勾股定理计算三角形边长的解题思路: 1、合理添加辅助线,构造题目需要求解的线段所在的直角三角形; 2、利用特殊直角三角形的三边关系及题目中的条件,得到构造出来的直角三角形的边长; 3、利用勾股定理进行计算求解。 |
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