自然常数e的解释

Andrew Zhang
Nov 28, 2017

自然常数e$e$来自于银行的复利计算。
假设银行规定不考虑复利的时候年利率是100%，也就是说你存进去100块，一年后可以拿到200块。
那么考虑复利的时候，存进去100块，一年后你能拿到多少钱呢？
可以一步一步求解，首先可以将一年平均分为n个时间段，那么一年后拿到的钱应该为
100(1+100%n)n=100(1+1n)n(1)$\begin{array}{}\text{(1)}& 100(1+\frac{100\mathrm{\%}}{n}{)}^n=100(1+\frac{1}{n}{)}^n\end{array}$
接下来只要对上式求一下极限即可
limn−>0100(1+1n)n=100limn−>0(1+1n)n=100e(2)$\begin{array}{}\text{(2)}& \underset{n->0}{lim}100(1+\frac{1}{n}{)}^n=100\underset{n->0}{lim}(1+\frac{1}{n}{)}^n=100e\end{array}$

e还有很多性质，比如说ex$e^x$的泰勒展开，导数还是它本身，e在复数中的性质等等