弧度 | 科學Online

弧度 (Radian)
國立屏東高級中學數學科楊瓊茹老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

「為什麼要將度換成弧度？」筆者總是會碰到一、兩位好學的學生一臉困惑的追問著。度度量（degree）轉換成弧度量（radian）對一般高中生而言較不易接受， 即使學生已經能習慣性地按「180∘=π${180}^{\circ }=\pi$ 弧度」單位換算，但是，對於弧度的概念可能是模糊不清的，尤其 π$\pi$ 本身是個無理數卻又能表示角的大小，學生在直覺上不易理解。

其實，弧度量是一種用弧長來表示角的大小的方法，定義如下：

設 ∠AOB$\mathrm{\angle }AOB$ 為單位圓的圓心角，所對應的圓弧 AB$AB$ 的長度為 θ$\theta$，規定

1. ∠AOB$\mathrm{\angle }AOB$ 的大小用圓弧 AB$AB$ 的長度來表示，
2. 角的度量單位稱為弧度，弧度兩字可省略。

即 ∠AOB=θ$\mathrm{\angle }AOB=\theta$ 弧度。

那麼，當圓弧 AB$AB$ 長等於半徑 1$1$ 時，∠AOB=1$\mathrm{\angle }AOB=1$ 弧度。而半圓的弧長為 π$\pi$，所以，對應的圓心角為 π$\pi$ 弧度，即 180∘=π${180}^{\circ }=\pi$ 弧度。因此，度與弧度之間的換算關係為：

1$1$ 弧度 =(180π)∘≈57.2958∘$={\displaystyle (\frac{180}{\pi }{)}^{\circ }\approx {57.2958}^{\circ }}$

1∘=π180$1^{\circ }={\displaystyle \frac{\pi }{180}}$ 弧度 ≈0.01745$\approx 0.01745$ 弧度

若圓的半徑為 r$r$，圓弧 CD$CD$ 長為 s$s$，圓弧 PQ$PQ$ 長為 θ$\theta$，

則 sr=θ1${\displaystyle \frac{s}{r}=\frac{\theta }{1}}$，即 ∠COD=θ=sr${\displaystyle \mathrm{\angle }COD=\theta =\frac{s}{r}}$

也就是說，與半徑等長的圓弧所對應的圓心角為1$1$弧度。

如此一來，角的大小可以用實數來表示，從而三角函數視為實數與實數之間的對應關係，便可在 x−y$x-y$ 平面上描繪出三角函數的圖形。

相較於度度量，弧度量的優點是讓數學公式變得簡潔（參見下表度度量與弧度量的比較），公式中少掉常數倍 π180${\displaystyle \frac{\pi }{180}}$。尤其在微積分中，從 limx→∞sinxx=1${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sin x}{x}=1}$ 逐步推導出的許多數學理論都是採用弧度量，奠定弧度量無可取代的地位。

所以，「弧度」不僅是另一種角的度量單位，可與「度」單位換算。更重要的是， 它能將數學公式化繁為簡，此一優點在微積分中充分展露無遺。

至於弧度何時成為角的公認度量單位，歷史並不久遠。1714 年，英國數學家羅傑‧寇茲（Roger Cotes, 1682~1716）用弧度的概念而不是度（degree）來處理相關問題，他認為弧度作為角的度量單位是很自然的。

1748 年，歐拉（Leonhard Euler, 1707~1783）在他的名著《無窮微量分析引論》（Introduction in analysin infinitorum）中主張用半徑為單位來量弧長，設半徑等於 1$1$，14$\frac{1}{4}$ 圓周長是 π2$\frac{\pi }{2}$，所對的圓心角的正弦值等於 1$1$ 可記作 sinπ2=1$\sin \frac{\pi }{2}=1$。

但是，他們都沒有使用radian這個名稱。英文的radian一詞第一次出現在印刷品中，是在1873年愛爾蘭工程師湯普遜（James Thomson,1822~1892）於伯斯發特的女王學院（Queen’s College in Belfast）所出的試題中。radian是由radius（半徑）與angle（角）兩字合成。

radian中文曾譯為「弳」，弳是弧與徑兩字合成。直到1956年，在中國科學院出版的《數學名詞》中，才正式定名為「弧度」。

---

參考資料

1. George B. Thomas, Jr / Ross L. Finney (1996). Calculus and analytic geometry-9th ed.
2. 毛爾著、胡守人譯 (2000).《毛起來說三角》，台北：天下文化。
3. 梁宗巨 (1998).《數學歷史典故》，台北：九章出版社。
4. http://en./wiki/Radian
5. http://fermatslasttheorem./2007/12/roger-cotes.html