泊松分布的期望和方差推导

泊松分布是一个离散型随机变量分布，其分布律是：

P(X=k)=λke−λk!

根据离散型随机变量分布的期望定义，泊松分布的期望：

E(X)=∑k=0∞k⋅λke−λk!

因为k=0时：

k⋅λke−λk!=0

所以：

E(X)=∑k=1∞k⋅λke−λk!

做一下变换：

E(X)=∑k=1∞k⋅λke−λk!=∑k=1∞λke−λ(k−1)!=∑k=1∞λk−1λe−λ(k−1)!=λe−λ∑k=1∞λk−1(k−1)!

这里需要用到泰勒展开式，我们知道常用的泰勒展开式中：

ex=1+x+x22!+x33!+...+xnn!+...=∑k=1∞xk−1(k−1)!

因此，泊松分布的期望为:

E(X)=λe−λ∑k=1∞λk−1(k−1)!=λe−λeλ=λ

对于方差D(X)D(X)，先求出E(X2):

E(X2)=∑k=0∞k2⋅λke−λk!=λe−λ∑k=1∞kλk−1(k−1)!=λe−λ∑k=1∞(k−1+1)λk−1(k−1)!

=λe−λ(∑m=0∞m⋅λmm!+∑m=0∞λmm!)(m=k−1)

=λe−λ(λ⋅∑m=1∞λm−1(m−1)!+∑m=0∞λmm!)

=λe−λ(λeλ+eλ)=λ(λ+1)

所以：

D(X)=E(X2)−(E(X))2=λ(λ+1)−λ2=λ

因此，泊松分布的期望和方差为：

E(X)=λ

D(X)=λ