高中数学：求圆锥曲线离心率的常用方法

一、根据离心率的范围，估算e

利用圆锥曲线的离心率的范围来解题，有时可利用椭圆的离心率e∈（0，1），双曲线的离心率e>1，抛物线的离心率e=1来解决。

例1、设，则二次曲线的离心率的取值范围为（ ）

A.

B.

C.

D. （）

解：由，知，

故所给的二次曲线是双曲线，由双曲线的离心率e>1，排除A、B、C，故选D。

二、直接求出a、c，求解e

已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用率心率公式来解决。

例2、已知双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）

A.

B.

C.

D.

解：抛物线的准线是，

即双曲线的右准线，

则，解得，

故选D。

例3、点P（-3，1）在椭圆的左准线上，过点P且方向为a=（2，-5）的光线，经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）

A.

B.

C.

D.

解：由题意知，入射光线为，

关于的反射光线（对称关系）为

则 解得

则。故选A。

三、构造a、c的齐次式，解出e

根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，沟通a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。

例4、已知F₁、F₂是双曲线的两焦点，以线段F₁F₂为边作正三角形MF₁F₂，若边MF₁的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）

A.

B.

C.

D.

解：如图，设MF₁的中点为P，则P的横坐标为。

由焦半径公式，

即，得，

解得，故选D。