2007年高考数学试题汇编——圆锥曲线（一）

2007年高考数学试题汇编——圆锥曲线（一）　

　1、（重庆文）已知以F1（2,0），F2（2,0）为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（  C  ）

 

　　（A）            （B）            （C）           （D）

 

　　【解答】设椭圆方程为消x得：

 

　　         即：

 

　　         又   联立解得

 

　　         由焦点在x轴上，故长轴长为

 

　　2、（重庆文）（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）

 

　　如题（21）图，倾斜角为a的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。

 

　　      

 

　       　题（21）图

 

　　（Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；

 

　　（Ⅱ）若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。

 

　　【解答】（Ⅰ）设抛物线的标准方程为，则，从而

 

　　因此焦点的坐标为（2，0）.

 

　　又准线方程的一般式为。

 

　　从而所求准线l的方程为。

 

　　

 

　    　

 

　    　答（21）图

 

　　（Ⅱ）解法一：如图（21）图作AC⊥l，BD⊥l，垂足为C、D，则由抛物线的定义知

 

　　|FA|=|FC|,|FB|=|BD|.

 

　　记A、B的横坐标分别为xxxz，则

 

　　|FA|＝|AC|＝解得，

 

　　类似地有，解得。

 

　　记直线m与AB的交点为E，则

 

　　    所以。

 

　　故。

 

　　解法二：设，，直线AB的斜率为，则直线方程为。

 

　　将此式代入,得，故。

 

　　记直线m与AB的交点为，则

 

　　，

 

　　，

 

　　故直线m的方程为.

 

　　令y=0,得P的横坐标故

 

　　。

 

　　从而为定值。

 

　　3、（重庆理）过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线，交双曲线于PQ两点，则|FP||FQ|的值为__________.

 

　　【分析】：

 

　　         代入得：

 

　　         设

 

　　         又

 

　　        

 

　　4、（重庆理）(本小题满分12分)如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F（3，0），右准线l的方程为：x = 12。

 

　　（1）求椭圆的方程；

 

　　（2）在椭圆上任取三个不同点，使，证明

 

　　为定值，并求此定值。

 

　    　

 

　　解：（I）设椭圆方程为．

 

　　因焦点为，故半焦距．

 

　         　

 

　　又右准线的方程为，从而由已知

 

　　，

 

　　因此，．

 

　　故所求椭圆方程为．

 

　　（II）记椭圆的右顶点为，并设（1，2，3），不失一般性，

 

　　假设，且，．

 

　　又设点在上的射影为，因椭圆的离心率，从而有

 

　　

 

　　  ．

 

　　解得 ．

 

　　因此

 

　　，

 

　　而

 

　　，

 

　　故为定值．

 

　　5、（浙江文）已知双曲线　的左、右焦点分别为F1、F2，P是准线上一点，且P F1⊥P F2，｜P F1｜｜P F2 ｜＝4ab，则双曲线的离心率是（B）

 

　　(A)   (B)    (C)2    (D)3

 

　　【解答】：设准线与x轴交于A点. 在中, ,

 

　　  又   ,

 

　　 化简得  ,  故选答案B

 

　　【高考考点】双曲线的离心率的求法解三角形的相关知识。

 

　　【易错点】：不能联系三角形的有关知识，找不到解题方法而乱选。

 

　　【备考提示】：双曲线的离心率的求法是解析几何的一个重点，且方法较多，要善于总结各种方法，灵活应用。

 

　　6、（浙江文）(本题15分)如图，直线y＝kx＋b与椭圆交于A、B两点，记△AOB的面积为S．

 

　　（I）求在k＝0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；

 

　　（Ⅱ）当｜AB｜＝2，S＝1时，求直线AB的方程．

 

　　                 

 

　　本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．

 

　　（Ⅰ）解：设点的坐标为，点的坐标为，由，解得，

 

　　所以．

 

　　当且仅当时，取到最大值．

 

　　（Ⅱ）解：由得，

 

　　，①．                ②

 

　　设到的距离为，则，

 

　　又因为，所以，代入②式并整理，得

 

　　，解得，，代入①式检验，，

 

　　故直线的方程是

 

　　或或，或．

 

　　【高考考点】椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等知识

 

　　【易错点】：不能准确计算或轻易舍掉一些答案。

 

　　【备考提示】：本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．故此类问题一方面要求考生能熟练掌握相关知识，并且能够有较高的分析问题和解决问题的能力，同时还要有较强的运算能力和不懈的毅力。

 

　　7、（浙江理）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是准线上一点，且，，则双曲线的离心率是（　B　）

 

　　Ａ．               Ｂ．               Ｃ．                  Ｄ．

 

　　【分析】：设准线与x轴交于A点. 在中, ,

 

　　  又   ,

 

　　 化简得  ,  故选答案B

 

　　8、（天津文）设双曲线的离心率为，且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为（　D　）

 

　　Ａ．                Ｂ．

 

　　Ｃ．              Ｄ．

 

　　【解析】∵抛物线的准线为,故有------①

 

　　又∵双曲线的离心率为,故有:-------②,

 

　　①②得到,进而求出,    ∴双曲线的方程为

2007-10-12  人教网