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黎曼ζ(z)函数的解析开拓级数式

2018-08-02  tujiengsh...

一、ζ(z)的原始定义级数式:

ReZ>1:
               ζ(z)=(n=1…∞)n-z.
 
 
二、ζ(z)的函数方程:
       ζ(z)=2zπz-1sin(πz/2)Γ(1-z)ζ(1-z)
 
 
三、ζ(z)的解析开拓级数式:
(1)ReZ>-1:
      ζ(z)=lim(N→∞)[(n=1…N)n-z-A0(N,z)]
              其中,A0(N,z)=(N+1/2)1-z/(1-z)
           (由此导函数,可证明“斯特林公式”:(n→∞)n!en/nn+1/2=√(2π))
 
(2)ReZ>-3:
      ζ(z)=lim(N→∞)[(n=1…N)n-z-A0(N,z)-A2(N,z)]
              其中,A2(N,z)=(z/24)(N+1/2)-1-z
 
(3)ReZ>-5:
      ζ(z)=lim(N→∞)[(n=1…N)n-z-A0(N,z)-A2(N,z)-A4(N,z)]
              其中,A4(N,z)=(-7/5760)z(z+1)(z+2)(N+1/2)-3-z
 
(4)ReZ>-2k-1:
ζ(z)=lim(N→∞)[(n=1…N)n-z-A0(N,z)-A2(N,z)-A4(N,z)-···-A2k(N,z)]
              其中,A2k(N,z)=(A2k)z(z+1)(z+2)···(z+2k-2)(N+1/2)1-2k-z
 

(5)A2k的求法:

         令N=0,用ζ(-2k)=0求之,用ζ(-2k+1)的值验之。

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