【原】交错发散级数的广义收敛性

（一）从定义上看，交错发散级数属于不定发散级数。

（二）用极限来看，有些交错发散级数存在单边收敛值。

（三）以η(-k)=∑(n=1…∞)(-1)^n-1n^k(k为自然数)为例：

（1）f(x)=1/(1-x)=∑(n=1…∞)x^n-1(|x|≤1且x≠1)

                  f^(k)(x)=k!/(1-x)^k+1

                   η(0)=f(-1)=1/2

（2）f1(x)=[xf(x)] ' =∑(n=1…∞)nx^n-1(|x|≤1且x≠1)

                   η(-1)=f1(-1)=1/4

（3）f2(x)=[xf1(x)] ' =∑(n=1…∞)n²x^n-1(|x|≤1且x≠1)

                   η(-2)=f2(-1)=0

（4）fk(x)=[xfk-1(x)] ' =∑(n=1…∞)n^kx^n-1(|x|≤1且x≠1)

                   η(-k)=fk(-1)=[(2^k+1-1)/(k+1)]Bk+1(1)

                          Bn(x)为伯努利多项式

（四）产生此种“矛盾”的根源，实际上是一个“二重极限”问题。

（五）交错发散级数的广义收敛性，是函数解析开拓的基本依据。

（六）η(z)的解析开拓定义：（z为一切复数）

           η(z)=(x→-1)∑(n=1…∞)n^-zx^n-1(|x|≤1且x≠1)