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【经典例题】 如下图，在矩形ABCD中，AB=3，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，点P、Q分别在BD、AD上，则AP PQ最小值为________． 【思路分析】 （1）已知AE⊥BD，ED=3BE，因此可证△ABE∽△DAE，表示出AE的长，在Rt△ABE中，运用勾股定理求出AE，DE，BE的长，再运用勾股定理或求三角形的面积法求出AD的长。根据两点之间线段最短，添加辅助线将AP和PQ转化到同一条线段上，因此作A点关于BD的对称点为A′，连接A′D，PA′，可证得△AA′D是等边三角形，由垂线段最短可知当PQ⊥AD时，A′P PQ最小，即可求出结果。 本题涉及到两个重要的几何模型： 【模型一】射影定理 如下图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，则有射影定理如下：①CD²=AD·DB，②BC²=BD·BA ， ③AC²=AD·AB (可以通过三角形相似对应边成比例去证明) 说明：射影定理的内容课本上已删减，但试题中往往要用上定理的结论，甚至连九年级课本上有些题的求解也会涉及到此定理，因此若作为九年级即将面临中考的学生，了解并熟记定理的结论，仍是大有裨益的。 【模型二】角内有一点的线段和最值问题 如下图，在∠AOB内部有一点P，M和N分别是OA、OB上两动点，当求PM MN的最小值。 解决方法：如下图，作点P关于OA的对称点Q，过点Q作QN⊥OB于点N，交OA于点M,此时，PM MN的值最小。 【总结归纳 】 数学题是永远做不完的，我们应该把有限的时间和精力投入到那些极具代表性的好题上，研究透后记住它的几何模型和解题原理，再到实战中进一步应用和提炼升华，这才是好的学习习惯。 这是一道综合题，涉及到勾股定理，矩形的性质，轴对称-最短路线问题，相似三角形的判定与性质等知识点，也是一道极具价值，值得认真研究的好题，本题的求解为我们提供了一种解决线段和最值问题的很好的思路和方法，在平时的学习中，不要仅仅满足课本上讲到的知识，而应开拓眼界，尽可能多积累掌握一些有用的结论或模型。 本题规范解答过程： 设BE=x，则DE=3x，∵四边形ABCD为矩形，且AE⊥BD，∴△ABE∽△DAE，∴AE²=BE·DE，即AE²=3x2 ， ∴AE=√3x，在Rt△ABE中，由勾股定理可得AB²=AE² BE² ， 即3²=（√3x）²， 解得x=3/2 ∴AE= 3√3/2， DE= 9/2，BE=3/2 ，∴AD=3√3. 如下图，设A点关于BD的对称点为A′，连接A′D，PA′， 则A′A=2AE=3√3=AD=A′D，∴△AA′D是等边三角形，∵PA=PA′， ∴当A′、P、Q三点在一条线上时，A′P PQ最小，又垂线段最短可知当PQ⊥AD时，A′P PQ最小，∴AP PQ=A′P PQ=A′Q=DE= 9/2，故答案是： 9/2 |
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