“山竹”提示旋转全等辅助线作法

“山竹”提示旋转全等辅助线作法

旋转变换是全等三角形证明中最常用的变换之一，添加适合的辅助线，构造全等三角形是基本思路，构造的方式有很多种，而题目条件中的特殊角、特殊形状则给予构造提示，理解条件提示，尽可能尝试不同的构造方法，是解题的必经之路，本文尝试从含45度角的旋转变换来研究几何解题中的思路，从试错开始，到得到正确的构造方法，需要耐心，更需要反思。

题目

如图，等腰Rt△ABC中，M为AC上一点，∠DAM=45°，且CD⊥AC，AC=BC=12，DM=10，求CM的长。

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基本思路：将CM转换到某一个直角三角形中，利用勾股定理列方程求其长度。

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试错一：利用45度角构造等腰直角三角形，然后再寻找全等三角形，最容易想到的便是作垂线，如下图：

结果未能找到全等三角形，无法完成线段的转换，也无法找到合适的直角三角形。

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试错二：延长BD，再作MF⊥BM，也构造出一个等腰直角三角形，如下图：

结果同样未能找到全等三角形，再次失败。

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探索：等腰直角三角形其实是由一个正方形沿对角线折叠后得到的，我们不妨将这个过程还原，即构造出原来的正方形，同时可以将△BCM绕点C逆时针旋转90度，如下图：

这是个非常熟悉的图形，通过旋转构造出一对全等三角形△BCM和△BGE，同时还得到另一对全等三角形△BDM和△BDE，思路由此打开。

解析：延长AD，作BG⊥AD，截取GE=CM。我们很容易证明正方形ACBG，第一对全等△BCM≌△BGE，然后证明第二对全等△BDM≌△BDE，将要求的线段CM设为x，则EG=x，DG=10-x，从而AD=12-(10-x)=2+x，这样在Rt△AMD中，利用勾股定理列方程：(12-x)²+(2+x)²=100，从而解出x

解而思：

辅助线添加没有一次性就能成功的话，则需要重新研读题目条件，通常情况下，失败的原因是没能构造出全等三角形，那么我们也就有了一个相对普遍的准则，即辅助线如果能构造出全等三角形，同时这对全等三角形的条件还非常容易确定，则这种辅助线作法即为正确。当然实际解题中，这条准则未必全部都适用。

辅助线添加是否准确高效，其实取决于平时练习后的反思，解完题，或者听老师讲完题，及时“消化”，将思路内化成自己的方法，再遇到类似的问题，自然轻松。