高中数学中求轨迹方程的常用方法

      

      （ 一）首先，中学里常用的简单的求轨迹是以下几种。

1、在平面内到两定点的距离相等的点的轨迹是连接两定点的线段的垂直平分线;

2、平面内到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;

3、平面内到定点的距离等于定长的的点的轨迹是以定点为圆心,以定长为半径的圆;

4、平面内到定点的距离与到定直线的距离之比等于常数e(定点不在定直线上)点的轨迹是圆锥曲线.当e>1时,表示双曲线;当e=1时,表示抛物线;当0<><>

5、平面内到定直线的距离等于某一定值的点的轨迹是与这条直线平行的两条直线.

（二）求轨迹常用的方法

1、直接法:如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系,这些条件简单明了,易于表达成含x,y的等式,就得到轨迹方程,这种方法称为直接法.用直接法求动点的轨迹方程一般有建系设点,列式,代换,化简,证明五个步骤,但最后的证明可以省略.

2、定义法:运用解析几何中一些常见的定义(如圆锥曲线的定义),可从曲线定义出发直接写出轨迹方程,或从曲线定义出发建立关系式,从而求出轨迹方程;

3、几何法:利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质,发现动点的运动规律和动点满足的条件,然后得出动点的轨迹方程.

4、代入法:动点所满足的条件不易表达或求出,但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x′,y′)的运动而有规律的运动,且动点Q的轨迹为给定或容易求得,则可先将x′, y′表示为x,y的式子,再代入Q的轨迹方程,然后整理得P的轨迹方程,代入法也成为相关点法;

5、参数法:求轨迹方程有时很难直接找出动点的横、纵坐标之间的关系,则可借助中间变量(参数),使x,y之间建立起联系,然后再从所求式子中消去参数,得出动点的轨迹方程.

6、交轨法:（此法实质也是一种参数法）求两动曲线交点轨迹时,可由方程直接消去参数,如求两动直线的交点时常用此法,也可引入参数来建立这些动曲线的联系,然后消去参数得到轨迹方程.

【评注】此题的定义法就是利用“圆锥曲线的第二定义”求解轨迹问题。

5.(交轨法):“交轨法”也是一种“参数法”,一般适用于求某两条直线的交点的轨迹方程。

     最后，我们再给出湖南省的一个与求轨迹方程有关的高考综合题。