轨迹方程的求解方法

求符合某种条件的动点轨迹方程，是解析几何的基本问题，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标化”将其转化为寻求动点的横坐标与纵坐标之间的关系.在求与圆锥曲线有关的轨迹方程时，要特别重视圆锥曲线的定义在求轨迹方程中的应用，只要动点满足已知曲线的定义，就可直接得出方程.一般高考的解析几何题第一问是求轨迹方程，第二问是研究直线和曲线的位置关系，所以很有必要牢固掌握轨迹方程的求法.求轨迹方程常用的方法有直接法、定义法、代入法、交轨法、待定系数法、参数法.而定义法，直接法，代入法是重点方法.

求轨迹方程与求轨迹是有区别的，若求轨迹，则不仅要求出方程，而且还需要说明所求轨迹是什么曲线，即曲线的形状、位置、大小都需说明.

一、直接法

我们学过的圆，椭圆，双曲线的标准方程都是用直接法推导出来的，直接法求轨迹方程的步骤如下：

注：步骤(5)可以省略不写，如有特殊情况，可以作适当说明，另外，也可以根据情况省略步骤(2).

简单记为：

①建系；②设点；③列式；④代换；⑤检验.

点  评

如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标(x,y)表示该等量关系式，即可得到轨迹方程.

二、定义法

点  评

定义法求轨迹方程是很常用的方程，我们要熟悉各种圆锥曲线的定义，只要动点满足圆锥曲线的定义，就可以写出它的轨迹方程.

三、待定系数法

如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程.

点  评

已知所求的曲线类型，先根据条件设出曲线方程，再由条件确定其待定系数.

四、交轨法

交轨法主要解决动直线或曲线间的交点问题.动点P(x,y)是两动直线(或曲线)的交点，解决此类问题通常是通过解方程组得到交点(含参数)的坐标，再消去参数求出所求的轨迹方程.

点  评

本题利用交轨法求轨迹方程，解题时要认真审题，仔细分析，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地选取公式.

五、代入法

动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x₀,y₀)的变化而变化，并且Q(x₀,y₀) 又在某已知曲线上，首先用x，y表示x₀，y₀，再将x₀，y₀代入已知曲线得到要求的轨迹方程.

点  评

代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系，有一个主动点，一个被动点，主动点的轨迹方程已知了，求被动点的轨迹方程用此方法.

六、参数法

当动点P(x,y)的坐标之间的关系不易找到，可考虑将x，y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得方程f(x,y)=0.

点  评

如果采用直接法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立点P的坐标x，y与该参数t的函数关系x=f(t)，y=g(t)，进而通过消参化为轨迹的普通方程F(x,y).

总结

以上列举了六种求曲线轨迹方程的方法，在解题过程中，要仔细读题，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，再对应各种方法求轨迹方程.相信同学们一定能够学好这部分知识.