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轨迹方程的求解方法

2017-07-30  阴雨的天气



求符合某种条件的动点轨迹方程,是解析几何的基本问题,其实质就是利用题设中的几何条件,通过“坐标化”将其转化为寻求动点的横坐标与纵坐标之间的关系.在求与圆锥曲线有关的轨迹方程时,要特别重视圆锥曲线的定义在求轨迹方程中的应用,只要动点满足已知曲线的定义,就可直接得出方程.一般高考的解析几何题第一问是求轨迹方程,第二问是研究直线和曲线的位置关系,所以很有必要牢固掌握轨迹方程的求法.求轨迹方程常用的方法有直接法、定义法、代入法、交轨法、待定系数法、参数法.而定义法,直接法,代入法是重点方法.

求轨迹方程与求轨迹是有区别的,若求轨迹,则不仅要求出方程,而且还需要说明所求轨迹是什么曲线,即曲线的形状、位置、大小都需说明.


一、直接法


我们学过的圆,椭圆,双曲线的标准方程都是用直接法推导出来的,直接法求轨迹方程的步骤如下:

注:步骤(5)可以省略不写如有特殊情况可以作适当说明另外也可以根据情况省略步骤(2).

简单记为

建系;设点;列式;代换;检验.



点  评

如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断,但点P满足的等量关系易于建立,则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系,再用点P的坐标(x,y)表示该等量关系式,即可得到轨迹方程.


二、定义法




点  评

定义法求轨迹方程是很常用的方程,我们要熟悉各种圆锥曲线的定义,只要动点满足圆锥曲线的定义,就可以写出它的轨迹方程.


三、待定系数法


如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线)的定义,则可先设出轨迹方程,再根据已知条件,待定方程中的常数,即可得到轨迹方程.


点  评

已知所求的曲线类型,先根据条件设出曲线方程,再由条件确定其待定系数.



四、交轨法


交轨法主要解决动直线或曲线间的交点问题.动点P(x,y)是两动直线(或曲线)的交点,解决此类问题通常是通过解方程组得到交点(含参数)的坐标,再消去参数求出所求的轨迹方程.



点  评

本题利用交轨法求轨迹方程,解题时要认真审题,仔细分析,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地选取公式.



五、代入法


动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x0,y0)的变化而变化,并且Q(x0,y0) 又在某已知曲线上,首先用x,y表示x0,y0,再将x0,y0代入已知曲线得到要求的轨迹方程.



点  评

代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系,有一个主动点,一个被动点,主动点的轨迹方程已知了,求被动点的轨迹方程用此方法.



六、参数法


当动点P(x,y)的坐标之间的关系不易找到,可考虑将x,y均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得方程f(x,y)=0.


点  评

如果采用直接法求轨迹方程难以奏效,则可寻求引发动点P运动的某个几何量t,以此量作为参变数,分别建立点P的坐标x,y与该参数t的函数关系x=f(t),y=g(t),进而通过消参化为轨迹的普通方程F(x,y).


总结

以上列举了六种求曲线轨迹方程的方法,在解题过程中,要仔细读题,认真审题,挖掘题目中的隐含条件,再对应各种方法求轨迹方程.相信同学们一定能够学好这部分知识.





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