完全平方数问题的解法

今天的题目是完全平方数问题，

所用知识不超过小学5年级。

题目（5星难度）：

如果两个自然数n和p满足n=p*p，则称n是完全平方数。请问等差数列1、7、13、19、25、……、2017中，完全平方数有多少个？

辅导办法:

题目写给小朋友，让他自行思考解答，若20分钟还不能解答，由家长讲解。

讲解思路：

注意到这个等差数列全部是奇数，

故题目中的p一定也是奇数。

为此假设p=2k+1,

其中k=0,1,2,……。

等差数列的每一项可以表示为

6m+1的形式，

其中k=0,1,2,……。

下面将寻找符合条件的m和k。

步骤1：

先思考第一个问题，

m和k有什么关系？

根据题意显然有

6m+1=(2k+1)*(2k+1),

化简即3m=2k(k+1),

因此m=2k(k+1)/3。

步骤2：

再思考第二个问题，

原数列中完全平方数有多少个？

先考虑m和k的范围：

在原来的等差数列中，

由于2017=336*6+1，

故m最大是336,

此时有2k(k+1)=3m=1008,

即k(k+1)=504，

而22*23=506，

21*22=462，

因此k最大是21；

接着考虑满足条件m和k的个数：

由于m=2k(k+1)/3，

故k或k+1一定是3的整数倍，

结合k的范围是0到21，

满足条件的k有15个，

因此满足条件的m有15个。

由于每个m都唯一对应着一个数，

所以原题目的答案是15个。

思考题 (3星难度)：

有3个不同的正整数，它们的和与乘积相等。这样的正整数有多少组?