定轴动区间

快夸我

     灯，等灯等灯！第四讲开讲了！

     后台可爱的小朋友嫌弃我普通话不标准，我就只好录无声电影版知识小介绍了！（包拯脸）

     本节课主要接上节课定轴动区间的话题往下讲解，题目为动轴定区间，开始吧！

例题走起

     已知函数f(x)= x²–2x –3.求在，x∈[ –2，0 ]、[ -2，2 ]、[0，2 ]、[2，4]求函数f(x)的最值

x∈[ –2，0 ]

     如图所示，蓝色区域点集合为x∈[ –2，0 ]时所对应的y值，可以看出x＜1，单调递减，当x=-2时取得最大值，当x=0时取得最小值

x∈[ –2，2 ]

     如图所示，蓝色区域点集合为x∈[ –2，2 ]时所对应的y值，此时x=1时已包含在内，取得最小值。可以看出当x=-2时取得最大值，当x=1时取得最小值而不是x=2时取得最小值！

x∈[ 0，2 ]

     如图所示，蓝色区域点集合为x∈[ 0，2 ]时所对应的y值，此时x=1时已包含在内，取得最小值。可以看出当x=0时取得最大值，同时当x=2时也取得最大值，得到f(0)=f(2)

x∈[ 2，4 ]

     如图所示，蓝色区域点集合为x∈[ 2，4 ]时所对应的y值，可以看出x＞1，单调递增，当x=4时取得最大值，当x=2时取得最小值

规律小结

     求二次函数f(x)=ax²+bx+c（a>0）在[m，n]上的最值或值域的一般方法是：        

     （1）判断对称轴与给定区间的位置关系.  检查x= -b/2a是否属于 [ m，n]； 

     （2）当x∈[m，n]时，f(m)、f(n)、f(x0）中的较大者是最大值,较小者是最小值； 

     （3）当x∉ [m，n]时，f(m)、f(n)中的较大者是最大值，较小者是最小值.

难题来了

     准备

上面的题目在初中阶段就是可以解决的，那我们一起来看看下面这道题该如何解决？！

     求函数y=x²-2x-3在x∈[k，k+2]时的最值? 

     函数 y=x²-2x-3的对称轴为 x=1 ，要求函数的最值，即要看区间[k,k+2]与对称轴 x=1的位置关系如何，接下来我们来看下区间移动与对称轴的关系所产生的影响共分为哪几种情况：

1

k+2≤1时

     如图所示，当k+2≤1时即k≤-1，f(x)最大=f(k)=k²-2k-3；f(x)最小=f(k+2)=(k+2)²-2(k+2)-3

2

k≥1时

     如图所示，当k+2≤1时即k≤-1，f(x)最小=f(k)=k²-2k-3；f(x)最大=f(k+2)=(k+2)²-2(k+2)-3

3

当1=1/2[k+(k+2)]时

     如图所示，当k=0时，f(x)最小=f(1)=-4；f(x)最大=f(k+2)=f(k)=-3

4

当k＜1＜1/2[k+(k+2)]时

     当k＜1＜1/2[k+(k+2)]时，也就是说当0＜k＜1，如图所示当f(x)最小=f(1)=-4；f(x)最大=f(k+2)

5

1/2[k+(k+2)]＜1＜k+2时

     当1/2[k+(k+2)]＜1＜k+2时，也就是说当-1＜k＜0，如图所示当f(x)最小=f(1)=-4；f(x)最大=f(k)

     “轴定区间动”的问题，看作动区间沿x轴移动的过程中，函数最值的变化，即动区间在定轴的左、右两侧及包含定轴的变化，要注意开口方向及端点情况