大家熟悉的有配方法、公式法,不常见却很实用,并被分别称之为”以横求纵法”、”辗转求值法”和“求横配纵法”,现拟分别以中考真题为例,解析如下: 一、配方法 把二次函数解析式,通过配方转化为y=a(x-h)²+k,从而知其顶点坐标为(h,k). 例1.(辽宁大连)已知抛物线y=ax²﹣2amx+am²+2m﹣5(其中﹣1/4<a<0),抛物线的顶点坐标为______(用含m的代数式表示). 解析:因为y=ax²﹣2amx+am²+2m﹣5=a(x﹣m)²+2m﹣5, 所以抛物线的顶点坐标为(m,2m﹣5). 故答案为(m,2m﹣5). 二、公式法 例2.(天津市)已知抛物线y=x²+bx-3(b是常数)经过点A(-1,0). 该抛物线的顶点坐标为______. 解析:把A(-1,0)代入y=x²+bx-3解得b=-2, 所以该抛物线的解析式为y=x²-2x-3; 因为x=-b/2a=-(-2)/[2×1]=1, y=(4ac-b²)/4a=[4×1×(-3)-(-2)²]/[4×1]=-4; 所以答案为(1,-4). 三、以横求纵 例3.(深圳改编)已知抛物线y=ax²+bx+2经过A(-1,0),B(4,0),该抛物线的的顶点坐标是______. 解析:由题意,得方程①a-b+2=0和方程②16a+4b+2=0, 解方程①和方程②组成的方程组, 得a=-1/2,b=3/2, 所以该抛物线的解析式为y=-(1/2)x²+(3/2)x+2. 因为抛物线y=ax²+bx+2经过A(-1,0),B(4,0), 所以该抛物线的对称轴为直线x=3/2, 所以该抛物线的顶点横坐标为3/2. 将x=3/2,代入已知抛物线解析式得y=-(1/2)x²+(3/2)x+2,从而得y=25/8. 写出答案(3/2,25/8). 对配方法不熟练的,可采用这种即不增加计算量,又很快捷的方法, 四、辗转求值法 因为二次函数的一般形式y=ax²+bx+c可化为y=(ax+b)x+c①,其顶点的横坐标为 x=-b/2a②,把②代入①化简得,y=[a(-b/2a)+b]x+c=bx/2+c. 于是,当已知横坐标x的值或对称轴x=-b/2a的值,或这两个值易求时,若求顶点坐标时,将横坐标x的值代入y=bx/2+c,求纵坐标y的值很简便. 例4.(湖北宜昌)已知抛物线y=x²+(2m+1)x+m(m﹣3)(m为常数),其顶点坐标用含m的代数式可表示为______. 解析:因为 五、求横配纵法 已知纵坐标,不求解析式而用简便的方法求得横坐标,然后与已知的纵坐标组成顶点坐标. 例5. (呼和浩特)已知二次函数y=ax²﹣2ax+c(a<0)的最大值为4,其图象的顶点为D. 该二次函数图象的顶点D的坐标为______. 解析:由顶点坐标公式知,x=-b/2a=-(-2a/2a)=1,从而与该函数的最大值4,组成顶点D的坐标,故答案为:(1,4). |
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