 本文以2020年广东省中考数学第10题为例，总结背后的知识点，然后提供具体的解题思路，如果你准备上初三，或者家里有准备上初三的孩子，不妨收藏，有没有价值，看完本文后找个题做一下就知道了。 先来看题目：  这种题目常见吗？ 我特意翻了一下课本，好像没怎么发现长得类似的题目，但是上网一搜，发现无论从时间还是空间来看，这种题都常见的不得了。1997年北京市中考数学试卷的第20题就是这种类型的，就今年（2020年）来说，许多地方的中考数学题也有这类题出现，比如深圳、鄂州、襄阳、天津等等。 虽然这种题算是中考的常客，但它还是有一定难度的。我教的是普通班，每次遇到这种题，除了个别学生会“挣扎”着想一想，其他人都是随便猜一下就过的。原本我也是打算跳过不讲了，可是备课组的几个同事讨论得热火朝天，我在旁边只有看的份，顿时感觉学生能不能接受是一回事，起码我自己得先搞懂啊！ 结合同事们讨论的结果，再找几道类似的题做了一下，我发现这种题还是有一套算是通用的思路的，而且也不算特别难，普通班里好一点的学生应该能搞定。 下面我们就开始吧！ 这种题考查的，是二次函数的图像与系数之间的关系。那二次函数的图像与系数有哪些可以用的关系呢？ 拿一个例子来梳理一下：  先看左边的“y＝ax²+bx+c（a≠0）”，这是二次函数的一般式，式子里的a、b和c是系数，其中a是二次项系数，b是一次项系数，而c是常数项，我们通常要求a不为0，否则它就不是二次函数了；式子里的x和y是变量，其中x是自变量，y是因变量。  看完左边的一般式，现在到右边的图象，这个图象该怎么看呢？ 二次函数的图象是一条抛物线。从上往下看，抛物线的一端是顶点，另一端是开口。函数的最大最小值经常会在顶点处出现。顶点的坐标可以从二次函数的顶点式直接看出，也可以把二次函数的一般式用配方法处理后得出，它的纵坐标有点复杂，横坐标倒不难记，就是-b/2a；想求出纵坐标，把x=-b/2a代入关系式就行了。 抛物线的开口跟a有关，开口朝上时，a>0；开口朝下时，a<0，暂时来说，知道这点就足够了。  从左往右看，抛物线是左右对称的，它有一条对称轴与x轴垂直，并穿过顶点，也因为如此，对称轴可以表示为“直线x=-b/2a”。另外，对称轴还有两个作用。 一个作用是判断a和b的符号关系。如果对称轴在y轴的左侧，会有“-b/2a<0”，那么a和b应该同号；同理，如果对称轴在y轴的右侧，会有“-b/2a>0”，那么a和b应该异号，概括起来就是“左同右异”。如果对称轴与y轴重合呢？这时会有b=0，就不存在符号关系的问题了。 另一个作用是处理两个对称点的横坐标。如果抛物线上的关于对称轴对称的两个点，它们的横坐标为x1和x2的话，它们的平均数会等于-b/2a，即“（x1+x2）/2=-b/2a”。  接下来看什么呢？ 把抛物线和直角坐标系放一块，难免会有交点，这些交点可以分为两类： 一类是抛物线与y轴的交点，这个交点的横坐标就是c。因此，当交点在坐标原点O的上方时，c>0；当交点在坐标原点O的下方时，c<0；当交点就是坐标原点O时，c=0。 另一类是抛物线与x轴的交点，交点的个数与b²-4ac有关。如果有2个交点，则b²-4ac>0；如果有1个交点，则b²-4ac<0；如果没有交点，则b²-4ac<0。  交点也看完了，还有什么需要留意的吗？ 有，那就是自变量x和因变量y的对应关系。当选定一个x时，我们可以通过图象判断对应的y的情况，比如下图中，当x=-2时，对应的y>0；当选定一个y时，我们可以通过图象判断对应的x的情况，比如下图中，当y=3时，对应的x有两个。  要梳理的东西就这么多，具体怎么用呢？我们就拿2020年广东中考数学的第10题试一下。  先看“①abc＞0”，这是a、b和c的符号判断问题。从图象上看，抛物线的开口朝下，可知a<0；抛物线与y轴交点在坐标原点O的上方，可知c>0；对称轴在y轴的右侧，根据“左同右异”，a和b应该是异号，可知b>0。综上可知abc<0，所以①错误。  接着看“②b²-4ac>0”，从图象上看，它与x轴有2个交点，所以b²-4ac>0，②是正确的。不难吧，嘿嘿！  再来看“③8a+c＜0”，我们会发现b不见了，那怎么办？题目中有个条件“对称轴是直线x=1”,由此可得“-b/2a=1”，进一步得出“b=-2a”。把它带入“y＝ax²+bx+c”,可得到'y＝ax²-2ax+c'，这样我们就把b消掉了。 然后呢？对比一下“ax²-2ax+c”和“8a+c”，不难看出，只要让x=-2，两者就相等了。把“x=-2”代入“y＝ax²-2ax+c”，会得到“y=8a+c”，从图象上看，当x=-2时，对应的y<0，所以8a+c<0，③是正确的。 最后看“④5a+b+2c＞0”，我们会发现a、b和c虽然都在，但对比一下“ax²+bx+c”和“5a+b+2c”，要想看出x取多少合适，似乎不大容易。那怎么办？还是用上一步的套路，先把b消掉再说。 把“b=-2a”代入“5a+b+2c”，可得到“3a+2c”。对比一下上一步的“ax²-2ax+c”和“3a+2c”，可以看出，如果把“x=-1”代入“y= ax²-2ax+c”，就会得到“y=3a+c”，于是有“3a+2c=(3a+c)+c=y+c”。从图象上看，当x=-1时，对应的y>0；同时由上面的分析可知c>0，所以有y+c>0，即5a+b+2c>0，④是正确的。 综上，这道题应该选B。 好了，知识梳理到这里，解题思路也告诉你了，要不要来一道深圳的中考数学题来试一下？ - End - |
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