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所谓角的和、差问题，就是证一个角等于两个角的和或差，如证明∠1+∠2=∠3，可将∠3分成两个角，使其中一个角等于∠1，再证另一个角等于∠2即可；所谓倍、分问题，就是证一个角等于另一个角的几倍或几分之一. 对于角的差、倍、分问题，可将其转化为证一个角等于两角的和. 角的和差倍分问题，往往要利用三角形的内角和、外交和定理，通过计算、整理，来转化角与角之间的关系，进而达到求解目的。 下面通过几道例题（都是考试中的常客），来进一步了解这种题型的答题策略. 【典型例题1】 已知如下图所示，AB∥CD. 求证：∠A+∠AEC+∠C =∠360°. 分析： 这是一道常见的题目，难度不大，但是可以用多种方法求解以锻炼思维，下面提供几种思路，具体过程不再说明，自己看一看，你能根据构造的辅助线写出证明过程吗？ 【典型例题2】 已知：如下图，D为△ABC内任意一点. 求证：∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD. 解析：如下图所示，延长BD交AC于点E，由三角形外交和定理得∠BDC=∠DEC+∠ACD，同理可得∠DEC=∠A+∠ABD ∴ ∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD. 点评：证明角的和差倍分问题，常常配合与角有关的定理，如三角形外角和、内角和等定理，对要证的等式中的角，进行整理、转化，从而得出结论. 【典型例题3】 如下图，△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠C的外角，BD、CD相交于点D. 求证：∠D=1/2∠A . 证法一：因∠1是△BCD的外角，故∠D=∠1－∠DBC=∠1－1/2∠ABC. 同理，∠A=∠ACE－∠ABC 则1/2∠A=1/2∠ACE－1/2∠ABC= ∠1－1/2∠ABC ∴∠D=1/2∠A . 证法二：在△BCD中，∠D=180°－1/2∠ABC－∠ACB－∠2 ∵∠2=1/2∠ACE=1/2∠A+1/2∠ABC ∴∠D=180°－1/2∠ABC－∠ACB－1/2∠A－1/2∠ABC=180°－∠ABC－∠ACB－1/2∠A 由三角形内角和定理得1/2∠A=90°－1/2∠ABC－1/2∠ACB ∴∠D=90°－1/2∠ABC－1/2∠ACB 即∠D=1/2∠A . 点评：从三角形的内角、外角两个方面考虑，再将计算出来的有关角的等式向结论一步步靠拢，同时要注意半角性质的应用，如在△ABC中，90°=1/2∠A+1/2∠B+1/2∠C，1/2∠A=90°－1/2∠B－1/2∠C. 这些性质往往能帮助我们找到解题途径. 【典型例题4】 如下图，AB∥CD，BE和DE分别是∠ABF和∠CDF的平分线. 求证：∠BFD =2∠BED. 解析：从题设及图形上看，∠BFD 、∠BED没有什么关系，这种情况下，往往意味着要构造辅助线解决问题了. 过点F作FG∥CD，如下图所示，由平行关系易证∠1=∠ABF，∠2=∠CDF. ∠1+∠2=∠ABF+∠CDF 即∠BFD =∠ABF+∠CDF . 同理可证∠BED=∠ABE+∠CDE ∵BE和DE分别是∠ABF和∠CDF的平分线 ∴ ∠ABF=2∠ABE ∠CDF=2∠CDE ∴ ∠ABF+∠CDF==2（∠ABE +∠CDE）即 ∠BFD =2∠BED. 点评：本题添加辅助线利用平行的性质，得出∠BFD =∠ABF+∠CDF，由∠ABF+∠CDF将结论中的两个角联系在一起，通过构造辅助线，使要证明的两个角之间建立联系，是构思的关键. 【典型例题5】 已知：如下图，△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，EF⊥AD于点G，交AB于点E，交AC于F，交BC的延长线于点H. 求证：∠H=1/2（∠ACB－∠B）. 提示：因为∠H分别是△HCF、△HDG、△HBE的内角，因此可用三角形内角和定理或外角性质，表示出∠H的等式，因为△HDG是直角三角形，则∠H=90°－∠ADH，再将其转化为所证的结论即可. 【归纳总结】 1、角的和差倍分问题，往往要利用三角形的内角和、外交和定理，通过计算、整理，来转化角与角之间的关系，进而达到求解目的； 2、注意半角性质的应用，如在△ABC中，90°=1/2∠A+1/2∠B+1/2∠C，1/2∠A=，90°－1/2∠B－1/2∠C. 这些性质往往能帮助我们找到解题途径； 3、若从题设及图形上看，要证明的角之间没有什么关系，这种情况下，往往意味着要构造辅助线解决问题了，而构造平行线是解决此类问题中最常用到的. |
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