151卷18如图(1)，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O (a)若∠A=60°，求∠BOC的度数； (b)若∠A=n°，则∠BOC=___； (c)若∠BOC=3∠A，则∠A=

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问：

参考例题

题目：

如图(1)，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O

(a)若∠A=60°，求∠BOC的度数；

(b)若∠A=n°，则∠BOC=___；

(c)若∠BOC=3∠A，则∠A=___；

(2)如图(2),在△A′B′C′中的外角平分线相交于点O′,∠A′=40°,求∠B′O′C′的度数；

(3)上面(1),(2)两题中的∠BOC与∠B′O′C′有怎样的数量关系?

考点：

三角形内角和定理

分析：

（1）（a）根据角平分线的定义可得∠1=

1

2

∠ABC，∠2=

1

2

∠ACB，然后求出∠1+∠2的值，再根据三角形的内角和等于180°可得出结论；
（b）同（a）的证明过程；
（c）根据角平分线的定义用∠A表示出∠1+∠2的值，再由∠BOC=3∠A即可得出结论；
（2）先求出∠A的外角的度数，由三角形的外角和等于360°及角平分线的性质得出∠1+∠2的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论；
（3）根据（1）（2）中∠BOC与∠B′O′C′的关系可得出结论．

解答：

(1)(a)∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，

∴∠1=12∠ABC,∠2=12∠ACB，

∴∠1+∠2=12(∠ABC+∠ACB)=12(180°?∠A)=12×(180°?60°)=60°，

∴∠BOC=180°?60°=120°；

(b))∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，

∴∠1=12∠ABC,∠2=12∠ACB，

∴∠1+∠2=12(∠ABC+∠ACB)=12(180°?∠A)=12×(180°?n°)=90°?12n°，

∴∠BOC=180°?(90°?12n°)=90°+12n°.

故答案为：90°+12n°；

(c)∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∠BOC=3∠A，

∴∠1=12∠ABC,∠2=12∠ACB，

∴∠1+∠2=12(∠ABC+∠ACB)=12(180°?∠A)=90°?12∠A，

∴90°?12∠A+3∠A=180°,解得∠A=36°

故答案为：36°；

(2)∵∠A=40°，

∴∠A的外角等于180°?40°=140°，

∵△A′B′C′另外的两外角平分线相交于点O′,三角形的外角和等于360°，

∴∠1+∠2=12×(360°?140°)=110°，

∴∠B′O′C′=180°?110°=70°；

(3)∵由(1)知,∠BOC=180°+∠A2，

由(2)知,∠B′O′C′=180°?180°+∠A2，

∴∠B′O′C′=180°?∠BOC.