初三「数学」第一次月考复习建议

精华学校一对一初中数学教研组 郝胜达 赵可

内容提要

二次函数是中考中的重点内容，也是九年级第一次月考的主要考试内容。课本中二次函数共八节内容，复习时可归纳为三大块，一、二次函数的图像和性质，二、解析式的三种形式，三、实际应用，以便提高学生复习效率。

下面是我们在教学过程中对于二次函数复习的一些总结，希望能对学生此次月考有所帮助。

一、二次函数的图像和性质

1、二次函数的一般形式：y＝ax²＋bx＋c（a不等于0）

【例题】已知函数y=mx^m2-2m+2＋(m－2)x．

(1)若它是二次函数，则m＝______，函数的解析式是______，其图象是一条______，位于第______象限。

(2)若它是一次函数，则m＝______，函数的解析式是______，其图象是一条______，位于第______象限。

2、五种形式的二次函数

【易错提示】二次函数的增减性一定要分在对称轴的左侧或右侧两种情况讨论。

3、二次函数的图象与字母系数的关系

字母或代数式	字母的符号	图象的特征
a	a＞0	开口向上	|a|越大开口越小
	a＜0	开口向下
b	b=0	对称轴为y轴
	ab＞0(b与a同号)	对称轴在y轴左侧
	ab＜0(b与a异号)	对称轴在y轴右侧
c	c=0	经过原点
	c＞0	与y轴正半轴相交
	c＜0	与y轴负半轴相交
b2-4ac	b2-4ac=0	与x轴一个交点(顶点)
	b2-4ac＞0	与x轴有两个不同交点
	b2-4ac＜0	与x轴没有交点
特殊关系	当x=1时，y= a+b+c
	当x=-1时，y= a-b+c
	若a+b+c＞0，即当x=1时，y＞0
	若a+b+c＜0，即当x=1时，y＜0

二次函数y=(x-h)²+k的图象平移时，主要看顶点坐标的变化：“上加下减，左加右减”。

【例题】若m，n(m＜n)是关于x的方程1－(x－a)(x－b)＝0的两个根，且a＜b，则a，b，m，n的大小关系是

A．m＜a＜b＜nB．a＜m＜n＜b

C．a＜m＜b＜nD．m＜a＜n＜b

【例题】如图是二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象的一部分；图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1，给出四个结论：①b²＞4ac；②2a＋b＝0；③a－b＋c＝0；④5a＜b．其中正确的是________________。(填序号)

二、二次函数的三种形式

1、一般式y＝ax²＋bx＋c；

2、顶点式y＝a(x－h)²＋k；

3、双根式y＝a (x - x₁₎₍x -x₂₎ (b²－4ac≥0)．

用待定系数法确定二次函数解析式时，根据不同条件选择不同设法，一般是：

（1）已知抛物线上三点坐标可设一般式y＝ax²＋bx＋c；再解一个三元一次方程组，确定系数a、b、c的值即可。

【例题】已知抛物线经过（1，0），（0，2），（2，3），求二次函数解析式；

（2）已知二次函数的顶点坐标或对称轴或最值时，则可选用顶点式：y＝a(x－h)²＋k；,再确定a、h、k的值。

【例题】二次函数的图象与x轴的交点是（8，0），顶点坐标是（6，-12），求二次函数解析式；

（3）已知抛物线与x轴的交点，或在x轴上截得的线段长时，则可选用两根式：y＝a (x - x₁₎₍x -x₂₎ ，再确定a、 x₁、x₂的值。

【例题】已知二次函数的图象与x轴的交点的横坐标是1和2，且经过点（4，3），求二次函数解析式；

【例题】已知二次函数的图象经过点（—1，16），对称轴方程是x+2=0，且在x轴上截得的线段长为6，求二次函数解析式。

三、二次函数的实际应用

1、实物抛物线

步骤：①建立平面直角坐标系；②利用待定系数法法确定抛物线的解析式；③利用二次函数的性质解决实际问题。

常见类型：桥梁、隧道、体育运动等

【易错提示】当题目中没有给出坐标系时，坐标系选取的不同，所得解析式也不同。

2、二次函数在销售问题中的应用

步骤：①读懂题意，借助销售问题中的利润等公式寻找等量关系；②确定函数解析式；③确定二次函数的最值，解决实际问题。

【易错提示】在求二次函数最值时，要注意实际问题中自变量的取值的限制对最值的影响。

3、二次函数在面积问题中的应用

步骤：①根据几何知识探求图形的面积关系式；②根据面积关系式确定函数解析式；③确定二次函数的最值，解决问题。

【例题】某商店销售一种进价为50元/件的商品，当售价为60元/件时，一天可卖出200件；经调查发现，如果商品的单价每上涨1元，一天就会少卖出10件．设商品的售价上涨了x元/件（x是正整数），销售该商品一天的利润为y元，那么y与x的函数关系的表达式为 .（不写出x的取值范围）

【例题】平面直角坐标系xOy中,抛物线y = -x²+mx +n与x轴交于点A，B（A在B的左侧）。

（1）抛物线的对称轴为直线x= -3， AB= 4.求抛物线的表达式；

（2）平移（1）中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标；

（3）当m =4时，抛物线上有两点M（x1，,y1）和N（x2，,y2），若x1< 2，x2="">2，x1+ x2 > 4，试判断y1与y2的大小，并说明理由。

复习建议

（1）认真复习知识点，熟记所有知识点，然后做些对应的题目，进一步巩固对知识点的理解。对于不能做出的题目，再重新翻看知识点，看题目考查的哪个知识点，把题目弄明白，然后再找几道同类型的题目，进一步巩固，并做好总结。

（2）翻看自己的错题本，对于曾经做错的题目，不要急于看答案，看自己能不能独立的完成这个题目，不能完成的，再看答案。再一次进行复习。

（3）月考主要考查基础知识，所以复习的重点在于基础知识的应用。程度好的学生可以做些有难度的题目，主要以基础为主。

（4）认真复习，放松心态，考试时答题认真仔细。

名师介绍

此次学科建议为精华学校一对一教研组的两位数学老师——赵可、郝胜达根据实时教学情况联合编写，希望在接下来的月考中对孩子有帮助！

赵可

数学与应用数学类师范专业毕业

有多年教学经验，对工作和学生都充满热情

希望帮助更多学生实现能力提升

采用分模块教学，各个击破，链接中考

郝胜达

十年一对一教学经验，熟悉中高考政策

对数学有自己的见解，有系统完备的解题方法

能迅速找到学习漏洞，熟悉学生心理

因人而异，找到适合学生的学习方法

最后老师们衷心祝每一位同学取得好成绩！