对昨日文章的说明

昨天在本公众号发布的疯狂的数学1： 全体正整数之和为负数！一文引发了读者朋友的热烈讨论，好些朋友在留言区提出了不同的观点，留下了许多争议。编者也认识到昨天那篇文章的一些表述（包括作者本人的表述以及我写的导读）存在问题，因此今天特作以下补充说明。

1.   “全体正整数之和为负数”只是一个吸引眼球的标题，但给读者造成了极大的误导，这是最致命的硬伤。本质上说，全文在努力证明的欧拉公式，是说Riemann 的zeta 函数 ζ(s) 在s=-1的取值等于 -1/12. 

   
   

2.   Riemann的zeta函数，在 s 的实部大于1时，有熟知的表达式

注意，右边的无穷级数仅仅在 s 的实部大于1时收敛。 例如，欧拉的一个杰出成就，是确立了ζ(s) 在s=2，4,  6， 8 的取值（当然，当时还未有zeta函数的提法）。对s=2，其结果可以表述为（昨天的文章说错了，可能是排版的失误，抱歉）：

3. 当s 的实部小于等于1时， (1)右边的无穷级数发散，因此右边没有意义。例如，当s=1时，我们得到，调和级数

是发散的；同样的，当s=-1时，我们在标题里所写的无穷和

也是发散的. 在这个意义下，我们说 “全部正整数之和等于负数”是绝对错误的！

4. 那么欧拉公式到底对不对呢？是这样，欧拉公式需要重新改写（理解）才成立。如何理解？这就需要用到复分析里头的一个概念：解析开拓。

5. 在复平面内， 现在只对实部大于1的复数 s=x+iy 定义了ζ(s) 的值，即通过(1)来定义。这样定义出的ζ(s) 在x=1的右半平面内是一个解析函数，通过解析开拓，可以将它扩张（根据解析函数的刚性性质，这个扩张是唯一的）为整个平面内（除掉s=1这一点) 的一个解析函数。为了方便起见，这个开拓之后的函数，仍然记为ζ(s) ，这个才是真正的zeta函数。

6.  有了这个定义在全平面的ζ(s)，就可以说清楚欧拉公式了。欧拉公式本质上，是说

只是要注意，这个ζ(s) 在x=1的左半平面的解析表达式，不再是(1)。因此，欧拉公式的左边并不是（4）所代表的那个发散的级数.

7.  那么，在不清楚ζ(s) 在x=1的左半平面的解析表达式的情况下，如何来求出ζ(-1)的值呢？ 答案是，引入一个辅助函数，叫Dirichlet eta 函数

这个eta函数在 s 的实部大于0（即右半平面）时收敛，并且在右半平面确立一个解析函数。例如，从微积分你应该知道η(1)=ln2. 

8.  eta函数与 zeta函数满足一个关系：当s的实部大于1时，不难推出

9. 我们现在关心的是 ζ(-1)的值，为此我们将eta 函数也解析开拓到全平面，巧的是，对于eta 函数的解析开拓很容易，因为可以采用Abel求和，即我们只需要如下定义 eta 函数在 s处的值

10. 例如，根据这个定义，不难求出

以及我们最关心的

11. 注意(7)原本只对 x=1的右半平面成立，但是，当eta函数和zeta函数都解析开拓为全平面的函数以后，它对一切s(除去s=1)都成立。这是解析函数的刚性（唯一性）。因此，在 (7)中令 s=-1， 我们就得到

再将（10）式的结果η(?1) = ¹?₄ 代入上式，化简就有

此即欧拉公式(5)。

12. 整个推理过程中，唯一的难点，是zeta 函数和eta 函数的解析开拓，特别是前者是如何做到的（后者如何开拓这里已经给出具体构造了）。对此，有兴趣的读者，就不得不深入学习复分析。这里推荐一本书，普林斯顿大学数学家E. Stein与人合写的本科生分析教材，第二本《复分析》第6章和第7章介绍了zeta函数及其与数论的关系。

顺便说一句，Stein的《复分析》虽然有中译本，但恕我直言，翻译得不好（不难看出，译者的复分析没学好），建议大家直接看英文影印版。

13. 欧拉公式教导我们：当你看到一个局部定义的解析函数时，可以尝试将它解析开拓。例如，zeta 函数在 x=1右侧是一个解析函数，那么你可以试试看它能够开拓为全平面的解析函数？ 欧拉公式之美，在于通过解析开拓，对一个从字面上看没有意义的、发散表达式——即(4)的右边，可以赋予一个确定的值——即ζ(-1)。

圣经说：

要使生命有意义，你需要历经磨难。

小编照着说：

要使解析函数有意义，你需要解析开拓。

14. 打个比方，不用解析开拓，你只能看到白天，用了解析开拓，你就可以看到黑夜。理解了欧拉公式（进一步，解析开拓）的美，就好比白天懂得了夜的黑。

感谢那姐，为解析开拓代言。

15. 本文没有讨论著名的黎曼猜想，我所了解的关于黎曼猜想的一本很好的读物（2015年，剑桥大学出版）在此，作者之一Mazur是哈佛大学的数论大家，有兴趣的读者可以网上下载阅读。说明完毕！

PS. 留言区有些朋友说我态度不是很好，很抱歉，我一向喜欢直截了当。我也提醒各位留言的朋友，这只是一个数学交流平台，不要把自身的问题（比如根本不知道解析开拓的概念就胡乱点评）带到留言区。如果你自己没有理解到，你又想理解，总有办法，请你谦虚一点、收敛一点。也请大家认识到，当我们涉及具体的数学（不论它是作为一门艺术还是科学）时，确实是有门槛的。你要不要努力跳进来，是你个人的事情，我们并没有义务和责任帮忙。

昨天我在标题的选取和导读的介绍上犯了大错，误导了大家理解文章，谨在此向大家道歉，对不起，我没想好，我没做好。

                                                     ——西北农林科技大学 理学院 林开亮