二次函数压轴题12，与几何图形的综合探究

如下图，二次函数y=ax²十2ax+4(a≠0)的图象与X轴交于点A、B，与y轴交于点C，∠CBO的正切值是2.

(1)求此二次函数的解析式;

(2)动直线L从与直线AC重合的位置出发，绕点A顺时针旋转，与直线AB重合时停止运动，直线L与BC交于点D，P是线段AD的中点.

①直接写出点P所经过的路线长;

②点D与B、C不重合时，过点D作DE⊥AC于点E、作DF⊥AB于点F，连结PE、PF，在旋转过程中，∠EPF的大小是否发生变化？若不变，求∠EPF的度数;若变化，请说明理由;

③在②的条件下，连结EF，求EF的最小值.

【思路分析】

(1)由二次函数解析式，可得，当×=0时，y=4，∴OC=4，由tan∠CBO=2=OC/0B，∴OB=2，∴B点坐标可求，代入解析式求出a，则解析式确定。

(2)如图，

①∵P是线段AD的中点，∴P点所经过路线长为△ABC的中位线的长，等于线段BC长的一半，在直角三角形BOC中，由勾股定理，求出BC的长，则点P所经过的路线长可算出。

②∵PE，PF分别是直角三角形AED和直角三角形AFD斜边的中线，∴∠PAE=∠PEA，即∠EPD=2∠PAE，同理，∠FPD=2∠FAD，∴∠EPF=2∠EAF，而通过抛物线解析式求出A点坐标，可知OA=OC，∴∠EAF=45°，则∠EPF=90°为定值.

③由于∠EPF=90°，且EP=FP=1/2×AD，∴△EPF为等腰直角三角形，要使EF最小，EF=√2EP=√2/2×AD，∴当AD为最短时，也即当AD⊥BC时，EF最小，然后用面积法，即S△ABC=1/2×AB×OC=1/2×BC×AD，从而求出最小AD值，进而求出EF的最小值.

【答案与解析】

解:(1)由y=ax²十2ax十4(a≠0)，可得x=0时，y=4，∴点C坐标为(0，4)，又∵tan∠CBO=OC/OB=2，∴OB=2，∴B点坐标为(2，0)，代入抛物线解析式得，0=4a十4a十4，∴a=一1/2，∴此二次函数解析式为y=一x²/2一x+4.

(2)如图

①∵P是线段AD的中点，∴点P从AC上运动到AB上时，路径长是△ABC的中位线，等于BC的一半，在Rt△BOC中，由勾股定理得，BC²=OC²+OB²，即BC²=2²十4²，∴BC=2√5，∴P点经过的路径长为√5.

②∠EPF的度数不发生变化.

由y=一X²/2一x+4，可得A点坐标为(一4，0)，∴OA=OC，∴△AOC是等腰直角三角形，∴∠CAO=45°.∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠AED=∠AFD=90°，∵P是线段AD的中点，∴PE=PF=1/2×AD=AP，∴∠EPD=2∠EAD，∠FPD=2∠FAD，∴∠EPF=∠EPD+∠FPD=2∠EAD+2∠FAD=2∠CAO=2×45°=90°

③由②知，△EPF是等腰直角三角形，∴EF=√2PE=√2/2×AD，当AD⊥BC时，AD最小，此时EF最小，由于A点坐标为(一4，0)，∴OA=4，∴AB=OA+OB=4十2=6，∵S△ABC=1/2×AB×OC=1/2×BC×AD，即1/2×6×4=1/2×2√5×AD，∴AD=12√5/5，∴EF=6√10/5，∴EF最小值为6√10/5.