初中数学, 一题多问需要做不同辅助线, 分别作图, 这样解题更清晰

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我们在做一题多问的题目时候有时候会碰到，需要做不同的辅助线，如果都做在同一图中，会显得繁杂，影响我们解题，这时候我们就要分别作图这样显得更加清晰。

已知：如图，在△ABC中，AB=3AC，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AD的延长线于点E．设△ACD的面积是S．（1）求△ABD的面积；（2）求证：AD=DE；（3）探究BE-AC和BD-CD之间的大小关系并证明你的结论．

这道题有三问，稍微复杂，三问都需要做辅助线，对于这类题目我们最好分开作图，另外做辅助线，这样题目清晰，方便我们解题。

先来看第一问，过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，根据角平分线性质得出DM=DN，根据三角形面积公式求出即可，具体过程如下

解：过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，

∵AD平分∠BAC，
∴DM=DN，
∵S△ABD=1/2×AB×DM，S△ACD=1/2×AC×DN

∵AB=3AC，△ACD的面积是S

∴△ABD的面积为3S；

这道题考查了角平分线性质的应用，每一问单独做辅助线，题目做起来清晰，方便解题。

我们来看第二问，延长AC、BE交于点F，求出△ABE≌△AFE，根据全等得出AB=AF=3AC，BE=EF，求出S△ABF=12S，S△ABE=S△AFE=6S，S△BDE=S△ABD，即可得出答案，具体如下：

证明：延长AC、BE交于点F，
∵AD平分∠BAC
∴∠BAE=∠FAE
∵BE⊥AE
∴∠BEA=∠FEA=90°
在△ABE和△AFE中

∠BAE=∠FAE，AE=AE，∠AEB=∠AEF

∴△ABE≌△AFE（ASA）
∴AB=AF=3AC，BE=EF
∴S△ABF=3△ABC
∵S△ABD=3S
∴S△ABC=4S
∴S△ABF=12S
∵BE=EF
∴S△ABE=S△AFE=6S
∴S△BDE=S△ABE-S△ABD=6S-3S=3S=S△ABD
∴AD=DE

我们来看第三问，在BD上截取DH=CD，连接EH，证△ADC≌△EDH，根据全等得出AC=EH，根据三角形三边关系定理得出即可。

BE-AC<>

证明：在BD上截取DH=CD，连接EH

∵在△ADC和△EDH中

AD=DE，∠ADC=∠EDH，DC=DH

∴△ADC≌△EDH（SAS）
∴AC=EH
在△BEH中，BE-EH<>
∴BE-AC<>
即 BE-AC<>

这道题主要考查全等三角形的判定与性质， 角平分线的性质，三角形的面积的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键。另外三问需要做不同的辅助线，如果做在同一图中就比较繁杂错乱，分开作图，每一问单独做辅助线，题目做起来清晰，方便解题。