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用“开局简单，前方高能”这几个字来形容中考数学压轴题，是再贴切不过的了。不信看看这道与圆相关的压轴题： 如图， AB是⊙O的直径，弧AC=弧BC，AB=2，连接AC. (1)求证：∠CAB=45度； (2)假设直线l为⊙O的切线，C是切点，在直线l上取一点D，使BD=AB，BD所在的直线与AC所在的直线相交于点E，连接AD. ①试探究AE与AD之间的数量关系，并证明你的结论； ②EB/CD是否为定值？假设是,请求出这个定值；假设不是,请说明理由.  (1)证明：连接BC，∠ACB=90度； ∵弧AC=弧BC，∴AC=BC, ∴∠CAB=∠CBA=45度. 瞧，第一小题是不是简单到让人不敢相信。但是如果你放松神经，以为后面的问题还是比较简单的话，那你恐怕就很难再紧张起来，解决后面的难题了。注意了“前方高能”。 (2)解：①AE=AD, 理由如下： 根据提示，作图(1)，过D作DF⊥AB于F， ∵l为⊙O的切线, ∴CD⊥OC, 又OC⊥AB，∴四边形CDFO是矩形， ∴DF=OC=AB/2=BD/2， ∴∠ABD=30度， ∵∠BCD=∠ABD=30度，∠ACD=∠BAC=45度， ∴∠AED=∠BCD+∠ACD=75度， 又∠ADB=(180度-∠ABD)/2=75度， ∴∠ADB=∠AED， ∴AD=AE.  可能不少考生只注意到这种情形，而忽略掉下面还有一种情形，单图画出来，就能叫人冒一身冷汗。如果没有很好的作图能力，根本连图都画不出来哦。  作图(2)，过D作DF⊥AB于F，与图(1)同理，有∠DBF=30度, ∴∠ABD=180度-∠DBF=150度，∠ADE=(180度-∠ABD)/2=15度， ∵∠CDE=∠DBF=30度, ∴∠ADC=∠CDE-∠ADE=15度, ∵∠ACD=∠ACO+∠DCO=135度, ∴∠CAD=180度-∠ADC-∠ACD=30度, ∴∠AED=∠CAD-∠ADE=15度, ∴∠AED=∠ADE,∴AD=AE. 如果题目到这里就结束，那还说得过去，下面这个问，更加高能。一般我们问EB/CD是否为定值，都是有关动点的。但这道题却并不是这样的，而是要求图1和图2中，两个EB/CD是否一样。 (②EB/CD是定值, 理由如下： 在图(1)中，过E作EH⊥AB于H，则EH=AE/根号2.  ∵∠CDE=∠ABD=∠CAD, ∴△CDE∽△CAD, ∴CD^2=AC·CE， 又CD/AB=CE/AE，即CD·AE=AB·CE=根号2 AC·CE, ∴CD=AE/根号2， ∴CD=EH=EB/2, 即EB/CD=2. 看过程，挺轻巧的，实则要转换出这个关系来，并不是一件很容易的事情。图2的情形，也可以用类似的方法，不过老黄并没有按这个方法探究下去，因为两个图的差异还是比较大的，所以老黄用了另一种方法。 在图(2)中，记BE交⊙O于点G，连接BC,AG，过B作BH⊥CD于点H，  则DH=根号3 BD/2=根号3, CH=BH=BD/2=1, CD=CH+DH=1+根号3, AG=AB/2=1, BG=根号3 AB/2=根号3, 设EG=x，则AE=根号(1+x^2), Rt△BCE∽Rt△AGE, BC/AG=BE/AE. 即根号2=(根号3+x)/根号(1+x^2),解得：x=2+根号3, BE=EG+BG=2+2根号3, ∴EB/CD=2. 其实就算题干中没有给出AB=2这个条件，也是可以解的。不过就会麻烦很多。不知道这道题给了你什么样的体验呢？ |
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